四边形知识点与经典例题.docx

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四边形知识点与经典例题

第十九章四边形

一、基础知识

（一）四边形由一般到特殊的演变示意图

（二）特殊四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

等腰梯形

定

义

有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。

两腰相等的梯形是等腰梯形。

性

质

1对边平行且相等。

2对角相等，邻角互补。

3对角线互相平分

1四个角都是直角。

2对角线相等。

1四条边都相等。

2两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。

1两腰相等两底平行

2同一底上的两角相等

3两条对角线相等

判

定

1定义：

2判定定理：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

1定义：

2判定定理：

（1）对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

1定义：

2判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。

（1）先证明是矩形再证明一组邻边相等。

（2）先证明是菱形再证一个角是直角。

1定义：

先判断是梯形在证明两腰相等。

2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

3对角线相等的梯形是等腰梯形。

对称性

轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

轴对称图形

（三）1．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。

2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、例题

例1：

如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：

∠BAE=∠DCF.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABE=∠CDF，AB=CD.

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF.

∴∠BAE=∠DCF.

例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.

求证：

BE=CF.

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OC.

又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90º.

∵∠BOE=∠COF.

∴△BOE≌△COF.∴BE=CF.

评注：

本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.

例3已知：

如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求证：

∠BEC=∠CFB.

证明：

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.

又∵AB=DC，BE=2EA，CF=2FD，

∴BE=CF.∵BC=CB，

∴△BEC≌△CBF.∴∠BEC=∠CFB.

例4如图6，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C.

∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.

（2）解析：

四边形MFNE是平行四边形.

∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.

又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.

∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.

∴四边形MFNE是平行四边形.

评注：

本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.

例5如图7，ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.

求证：

四边形AFCE是菱形.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.∴∠EAC=∠FCA.

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA=OC，∠EOA=∠FOC，EA=EC.

∴△EOA≌△FOC.∴AE=CE.

∴四边形AFCE是平行四边形.

又∵EA=EC，

∴四边形AFCE是菱形.

例6如图9，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.

（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

解析：

本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.

（1）①AE=CF；②OE=OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.

（2）①证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD.∴∠DCE=∠BAF.

∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，即AF=CE.

∴△DEC≌△BFA.

例7如图10，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.

（1）求证：

四边形EFOG的周长等于2OB；

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.

解析：

（1）证明：

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形.∴∠ABC=∠DCB.

又∵BC=CB，AB=DC，

∴△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC.

又∵EG∥AC，∠ACB=∠GEB.

∴∠DBC=∠GEB.∴EG=BG.

∵EG∥OC，EF∥OG，

∴四边形EGOF是平行四边形.

∴OE=OF，EF=OG.

∴四边形EGOF的周长=2（OG＋GE）=2（OG＋GB）=2OB.

（2）如图11，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.

求证：

四边形EFOG的周长等于2OB

注意：

若将矩形改为正方形，原结论成立吗？

例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13

（1）、

（2）上），并给予合理的解释.

解析：

本题是一道方案设计题，现提供三种方案供参考：

方案一：

如图14

（1），连结梯形上、下底的中点E、F，则

S四边形ABFE=S四边形EFCD=.

方案二：

如图14

（2），分别量出梯形的上、下底a、b的长，在下底BC上截取BE=（a＋b），连结AE.则

S△ABE=S四边形AECD=.

方案三：

如图14（3），连结AC，取AC的中点E，连结BE、ED，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD的一半.

分析此方案可知，∵AE=EC，∴S△AEB=S△EBC，S△AED=S△ECD.

∴S△AEB＋S△AED=S△EBC＋S△ECD=S四边形ABCD.

图14

例9请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）．

解析：

拼法有多种，现列举四例：

三、适时训练

（一）精心选一选

1.下列命题正确的是（）

一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

对角线相等的四边形一定是矩形

两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为（）

A.6

3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（　　）

　（A）1　　　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　　（D）4

4．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，则AC的长为（）

（A）1　　　　　　（B）1.2　　　　　（C）　　　　　　（D）1.5

5．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（）

（A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm

6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线（　　　）

（A）互相垂直　　（B）相等　（C）互相平分　（D）互相垂直且相等

7.如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5

那么四边形AFDE的周长是（）

（A）5（B）10（C）15（D）20

8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）．

（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm

9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是（）．

（A）9cm（B）12cm（c）cm（D）18cm

10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）

（A）4cm（B）6cm（C）8cm（D）10cm

11.如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（　　）

（A）　（B）　　（C）（D）８　　

12.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是

AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论

成立的是（）

A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小

C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P

13.在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12cm，

则梯形中位线的长等于（）

A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm

14.国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（）

A．红花、绿花种植面积一定相等

B．紫花、橙花种植面积一定相等

C．红花、蓝花种植面积一定相等

D．蓝花、黄花种植面积一定相等

15.如图,在一个3方格纸上,若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，在该3方格纸上最多可画出的正方形的个数是（）个.

A.13B.14C.18D.20

（二）细心填一填

1.如果四边形四个内角之比1：

2：

3：

4，则这四边形为＿＿＿＿形。

2.若正方形的对角线长为2cm，则正方形的面积为＿＿＿。

3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是＿＿＿

4.已知：

平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的