极坐标和参数方程知识点总结文档格式.docx
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与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为。
以极轴Od始边射线0M为
终边的角•xOM叫做点M的极角，记为厂有序数对「门叫做点M的极坐标，记作M「门•一般地，不作
特殊说明时，我们认为'
_0户可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为0宀R。
和直
角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定亍•0,0"
：
^：
2二，那么除极点外，平面内的点
可用唯一的极坐标几二表示。
同时，极坐标匸户表示的点也是唯一确定的•
3•极坐标和直角坐标的互化
（1）互化背景：
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同
的长度单位，如图
（2）所示:
（2）互化公式：
设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是x,y，极坐标是■^■-0，于
是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M
直角坐标（x,y）
极坐标（P,8）
互化公式
X=Pcos日y=Psin日
2.2尸=x十y
tan&
（x式0）
x
在一般情况下，由tanv确定角时，可根据点M所在的象限最小正角
曲线
图形
极坐标方程
4•常见曲线的极坐标方程
点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同•所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少
叱引可以表示为
「江Ji、
，其中,只有M—［的极坐标满足方程
144丿
有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程「-V点
『兀兀、fnn］f兀5兀］
M—+2兀或—2兀或M.——,——［等多种形式
144丿144丿（44丿
p=e.
二、参数方程
i•参数方程的概念
「X=f（t）
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x,y）都是某个变数t的函数丿①,并且对
』=g（t）
于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点Mx，y都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数
方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程
叫做普通方程•
2•参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方
程.
（2）如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x二ft，把它代入普通方程,求出另一个变数与参数
值范围保持一致.
注：
普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M。
出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设
x=rcos日
（日为参数）。
这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程，其中6的几何意
=rsinT
义是OM0转过的角度。
圆心为a,b，半径为r的圆的普通方程是x-a2，y-b2=r2,
4•椭圆的参数方程
x=acos®
叶bsZ卩为参数），其中参数®
称为离心角；
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
的范围为-0,2二。
5.
双曲线的参数方程
；
（3为参数），其中铤曲吩p-2
2
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是笃
a
以上参数「都是双曲线上任意一点的离心角。
6.
抛物线的参数方程
7.直线的参数方程
直线参数方程中参数的几何意义：
过定点MoXo,y。
，倾斜角为〉的直线丨的参数方程为
X=xo十tcos^
（t为参数），其中t表示直线I上以定点Mo为起点，任一点M（x,y）为终点的有向线
y=yo+tsin。
段MoM的数量，当点M在Mo上方时，t>
O；
当点M在Mo下方时，tvO；
当点M与M。
重合时,
t=O。
我们也可以把参数t理解为以Mo为原点，直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其
（二）极坐标与直角坐标的互化
人（2,夕）2（2,寻）
〖例2〗在极坐标系中，如果44为等边二角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标
（_0,0"
-..27.）。
（三）求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P,Q分别在/AOB的两边OA,OB上，/AOB二二，“POQ的面积为8，求PQ中点M的3
极坐标方程。
（四）极坐标的应用
〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，"
OPA为等腰直角三角形，"
OPA的顶角为/OPA（O,P,A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。
（一）把参数方程化为普通方程
x=-4+cosf,z^8cos5P
1例〗已知曲线cl：
丿1孑+盟口匚（t为参数），c】：
丿-张“見（0为参数）。
（1）化c'
c〔的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
参数）距离的最小值。
（二）椭圆参数方程的应用
（三）直线参数方程的应用
应的盘的值。
解读：
x=2+72cc>
s^
（0厂
B为参数），且曲线C与直线创=0相交于两点A、B
（四）圆的参数方程的应用
1例〗已知曲线c的参数方程是Lr=^sin
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长
【感悟高考真题】
X=COS：
xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为
"
cos-si"
）1=0,则Ci与C2的交点个数为
4.直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
x=2cos^
j=v3si^（ct为参数）.在极坐标系（与直角坐标系
xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为
?
=2sin丁-4cos丁，以极点为原点，极轴
「（cos-sin》1"
则C1与C2的交点个数为
5.
（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为
系，设点A,B分别在曲线
为.
x=3cos-
C1:
^4si（二为参数）和曲线C2=1上,则|AB|的最小值
[x=3+cos0
系，设点A，B分别在曲线C1:
.y=sinr（二为参数）和曲线C2=1上，则1AB|的最小值
为
9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为的交点坐标为•
丿X=^COS%W0V兀）f=4（tER）
.八s阮和y=t，它们
卜二娅0^%为参数）
10.
（2）在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为y=sin‘
（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极
轴）中，点P的极坐标为4,二I,判断点P与直线l位置关系；
<
2丿
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值•
X=5cos
11.选修4-4:
坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆.y=3sin■
x=4_2t
（'
为参数）的右焦点，且与直线.y=3-t（t为参数）平行的直线的普通方程。
x=2cos-
12.（2011新课标全国高考理科T23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为丁=2'
2引
ULVuuuv
C为参数）M是C1上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2
（I）求C2的方程
e=-
（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2
a=-
（n）在以O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2
的异于极点的交点为B,求
AB
14.（2011•辽宁高考理科・T23）（本小题满分10分）（选修4-4:
坐标系与参数方程）在平面直角坐
标系xOy中，曲线C1的参数方程为=sin，
x=cos.为参数）
…-口①，，曲线C2的参数方程为
X=ac0农@>
b为参数
Ly=bsin，.在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1:
0=a与
n
C1,C2各有一个交点.当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=2时，这两个交点重合.
（I）分别说明C1,C2是什么曲线，并求出a与b的值；
nn
（II）设当:
=4时，I与C1,C2的交点分别为A1,B1，当a=-4时，|与C1,
C2的交点为A2,B2，求四边形A1A2B2B1的面积.
x=-1-1
15.极坐标p和参数方程mt（t为参数）所表示的图形分别是（d）
A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线
16•极坐标方程（p-1）（二-二）=（p-o）表示的图形是
（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线
17.在极坐标系（p0）（0<
0<
2）中，曲线p=sln日与1的交点的极坐标为
x—cos日
18.已知P为半圆C:
」（日为参数，°
兰&
兰71）上的点，点A的坐标为（1,0）,O为坐标原
y=sin日
点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为一。
3
（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
【考点模拟演练】
一、选择题
（
5nn
2,——，贝UP关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为（）
A.[2,扌）（1，田）B.[2,—（1,—V3）C.Q,茅，（—1,占）D.[2,—茅，（—1,—问
2.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为（1,—.3）.若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（）
3.在直角坐标系xOy中，已知点C（—3,—3），若以0为极点,
标（p0）（p>
0-n<
0可写为.
过点f2，产平行于极轴的直线的极坐标方程是（）
x轴的正半轴为极轴,
则点C的极坐
4.
pcos=）4B.psin=（4C.p
sin=0.2D.
pcos=6.2
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