极坐标和参数方程知识点总结文档格式.docx
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与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为。
以极轴Od始边射线0M为
终边的角•xOM叫做点M的极角,记为厂有序数对「门叫做点M的极坐标,记作M「门•一般地,不作
特殊说明时,我们认为'
_0户可取任意实数•特别地,当点M在极点时,它的极坐标为0宀R。
和直
角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定亍•0,0"
:
^:
2二,那么除极点外,平面内的点
可用唯一的极坐标几二表示。
同时,极坐标匸户表示的点也是唯一确定的•
3•极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同
的长度单位,如图
(2)所示:
(2)互化公式:
设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是x,y,极坐标是■^■-0,于
是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标(x,y)
极坐标(P,8)
互化公式
X=Pcos日y=Psin日
2.2尸=x十y
tan&
(x式0)
x
在一般情况下,由tanv确定角时,可根据点M所在的象限最小正角
曲线
图形
极坐标方程
4•常见曲线的极坐标方程
点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同•所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少
叱引可以表示为
「江Ji、
,其中,只有M—[的极坐标满足方程
144丿
有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程「-V点
『兀兀、fnn]f兀5兀]
M—+2兀或—2兀或M.——,——[等多种形式
144丿144丿(44丿
p=e.
二、参数方程
i•参数方程的概念
「X=f(t)
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数丿①,并且对
』=g(t)
于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点Mx,y都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数
方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程
叫做普通方程•
2•参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方
程.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x二ft,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数
值范围保持一致.
注:
普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示,设圆O的半径为r,点M从初始位置M。
出发,按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动,设
x=rcos日
(日为参数)。
这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程,其中6的几何意
=rsinT
义是OM0转过的角度。
圆心为a,b,半径为r的圆的普通方程是x-a2,y-b2=r2,
4•椭圆的参数方程
x=acos®
叶bsZ卩为参数),其中参数®
称为离心角;
焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
的范围为-0,2二。
5.
双曲线的参数方程
;
(3为参数),其中铤曲吩p-2
2
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是笃
a
以上参数「都是双曲线上任意一点的离心角。
6.
抛物线的参数方程
7.直线的参数方程
直线参数方程中参数的几何意义:
过定点MoXo,y。
,倾斜角为〉的直线丨的参数方程为
X=xo十tcos^
(t为参数),其中t表示直线I上以定点Mo为起点,任一点M(x,y)为终点的有向线
y=yo+tsin。
段MoM的数量,当点M在Mo上方时,t>
O;
当点M在Mo下方时,tvO;
当点M与M。
重合时,
t=O。
我们也可以把参数t理解为以Mo为原点,直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标,其
(二)极坐标与直角坐标的互化
人(2,夕)2(2,寻)
〖例2〗在极坐标系中,如果44为等边二角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标
(_0,0"
-..27.)。
(三)求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P,Q分别在/AOB的两边OA,OB上,/AOB二二,“POQ的面积为8,求PQ中点M的3
极坐标方程。
(四)极坐标的应用
〖例〗如图,点A在直线x=4上移动,"
OPA为等腰直角三角形,"
OPA的顶角为/OPA(O,P,A依次按顺时针方向排列),求点P的轨迹方程,并判断轨迹形状。
(一)把参数方程化为普通方程
x=-4+cosf,z^8cos5P
1例〗已知曲线cl:
丿1孑+盟口匚(t为参数),c】:
丿-张“見(0为参数)。
(1)化c'
c〔的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
参数)距离的最小值。
(二)椭圆参数方程的应用
(三)直线参数方程的应用
应的盘的值。
解读:
x=2+72cc>
s^
(0厂
B为参数),且曲线C与直线创=0相交于两点A、B
(四)圆的参数方程的应用
1例〗已知曲线c的参数方程是Lr=^sin
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求弦AB的垂直平分线的方程(3)求弦AB的长
【感悟高考真题】
X=COS:
xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为
"
cos-si"
)1=0,则Ci与C2的交点个数为
4.直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
x=2cos^
j=v3si^(ct为参数).在极坐标系(与直角坐标系
xOy取相同的长度单位,且以原点0为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为
?
=2sin丁-4cos丁,以极点为原点,极轴
「(cos-sin》1"
则C1与C2的交点个数为
5.
(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为
系,设点A,B分别在曲线
为.
x=3cos-
C1:
^4si(二为参数)和曲线C2=1上,则|AB|的最小值
[x=3+cos0
系,设点A,B分别在曲线C1:
.y=sinr(二为参数)和曲线C2=1上,则1AB|的最小值
为
9.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为的交点坐标为•
丿X=^COS%W0V兀)f=4(tER)
.八s阮和y=t,它们
卜二娅0^%为参数)
10.
(2)在直角坐标系xOy中,直线1的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为y=sin‘
(I)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极
轴)中,点P的极坐标为4,二I,判断点P与直线l位置关系;
<
2丿
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值•
X=5cos
11.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆.y=3sin■
x=4_2t
('
为参数)的右焦点,且与直线.y=3-t(t为参数)平行的直线的普通方程。
x=2cos-
12.(2011新课标全国高考理科T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为丁=2'
2引
ULVuuuv
C为参数)M是C1上的动点,P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2
(I)求C2的方程
e=-
(II)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3与C1的异于极点的交点为A,与C2
a=-
(n)在以O为极点,X轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3与C1的异于极点的交点为A,与C2
的异于极点的交点为B,求
AB
14.(2011•辽宁高考理科・T23)(本小题满分10分)(选修4-4:
坐标系与参数方程)在平面直角坐
标系xOy中,曲线C1的参数方程为=sin,
x=cos.为参数)
…-口①,,曲线C2的参数方程为
X=ac0农@>
b为参数
Ly=bsin,.在以o为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线1:
0=a与
n
C1,C2各有一个交点.当a=0时,这两个交点间的距离为2,当a=2时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
nn
(II)设当:
=4时,I与C1,C2的交点分别为A1,B1,当a=-4时,|与C1,
C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
x=-1-1
15.极坐标p和参数方程mt(t为参数)所表示的图形分别是(d)
A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线
16•极坐标方程(p-1)(二-二)=(p-o)表示的图形是
(A)两个圆(B)两条直线(C)一个圆和一条射线(D)一条直线和一条射线
17.在极坐标系(p0)(0<
0<
2)中,曲线p=sln日与1的交点的极坐标为
x—cos日
18.已知P为半圆C:
」(日为参数,°
兰&
兰71)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原
y=sin日
点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为一。
3
(I)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(II)求直线AM的参数方程。
【考点模拟演练】
一、选择题
(
5nn
2,——,贝UP关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为()
A.[2,扌)(1,田)B.[2,—(1,—V3)C.Q,茅,(—1,占)D.[2,—茅,(—1,—问
2.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,—.3).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是()
3.在直角坐标系xOy中,已知点C(—3,—3),若以0为极点,
标(p0)(p>
0-n<
0可写为.
过点f2,产平行于极轴的直线的极坐标方程是()
x轴的正半轴为极轴,
则点C的极坐
4.
pcos=)4B.psin=(4C.p
sin=0.2D.
pcos=6.2