数学高考真题全国Ⅲ卷理精校解析版Word格式.docx

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0，b>

0）的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为（　　）

A．－＝1B．－＝1

C．－＝1D．－＝1

6．（2017·

全国Ⅲ理，6）设函数f（x）＝cos，则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为－2π

B．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称

C．f（x＋π）的一个零点为x＝

D．f（x）在单调递减

7．（2017·

全国Ⅲ理，7）执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

A．5B．4C．3D．2

8．（2017·

全国Ⅲ理，8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．πB.C.D.

9．（2017·

全国Ⅲ理，9）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为（　　）

A．－24B．－3C．3D．8

10．（2017·

全国Ⅲ理，10）已知椭圆C：

＋＝1（a>

b>

0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

11．（2017·

全国Ⅲ理，11）已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a等于（　　）

A．－B．C．D．1

12．（2017·

全国Ⅲ理，12）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为（　　）

A．3B．2C.D．2

二、填空题

13．（2017·

全国Ⅲ理，13）若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为________．

14．（2017·

全国Ⅲ理，14）设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

15．（2017·

全国Ⅲ理，15）设函数f（x）＝则满足f（x）＋f>

1的x的取值范围是________．

16．（2017·

全国Ⅲ理，16）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°

角时，AB与b成30°

角；

②当直线AB与a成60°

角时，AB与b成60°

③直线AB与a所成角的最小值为45°

；

④直线AB与a所成角的最大值为60°

.

其中正确的是________．（填写所有正确结论的编号）

三、解答题

17．（2017·

全国Ⅲ理，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋

cosA＝0，a＝2，b＝2.

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

18．（2017·

全国Ⅲ理，18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；

如果最高气温位于区间[20,25），需求量为300瓶；

如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高

气温

[10,15）

[15,20）

[20,25）

[25,30）

[30,35）

[35,40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：

瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：

瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（2017·

全国Ⅲ理，19）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.

（1）证明：

平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值．

20．（2017·

全国Ⅲ理，20）已知抛物线C：

y2＝2x，过点（2,0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，－2），求直线l与圆M的方程．

21．（2017·

全国Ⅲ理，21）已知函数f（x）＝x－1－alnx.

（1）若f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，·

…·

<

m，求m的最小值．

22．（2017·

全国Ⅲ理，22）[选修4—4：

坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：

ρ（cosθ＋sinθ）－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

23．（2017·

全国Ⅲ理，23）[选修4—5：

不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．

参考答案

1．【答案】B

【解析】集合A表示以原点O为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，

集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．

结合图形可知，直线与圆有两个交点，

所以A∩B中元素的个数为2.

故选B.

2．【答案】C

【解析】方法一　由（1＋i）z＝2i，得z＝＝1＋i，

∴|z|＝.

故选C.

方法二　∵2i＝（1＋i）2，

∴由（1＋i）z＝2i＝（1＋i）2，得z＝1＋i，

3．【答案】A

【解析】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错误；

对于选项B，观察折线图的变化趋势可知，年接待游客量逐年增加，故B正确；

对于选项C，D，由图可知显然正确．

故选A.

4．【答案】C

【解析】因为x3y3＝x·

（x2y3），其系数为－C·

22＝－40，

x3y3＝y·

（x3y2），其系数为C·

23＝80.

所以x3y3的系数为80－40＝40.

5．【答案】B

【解析】由y＝x，可得＝.①

由椭圆＋＝1的焦点为（3,0），（－3,0），

可得a2＋b2＝9.②

由①②可得a2＝4，b2＝5.

所以C的方程为－＝1.

6．【答案】D

【解析】A项，因为f（x）＝cos的周期为2kπ（k∈Z），所以f（x）的一个周期为－2π，A项正确；

B项，因为f（x）＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－（k∈Z），所以y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，B项正确；

C项，f（x＋π）＝cos.令x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，所以f（x＋π）的一个零点为x＝，C项正确；

D项，因为f（x）＝cos的递减区间为（k∈Z），递增区间为（k∈Z），所以是f（x）的单调递减区间，是f（x）的单调递增区间，D项错误．

故选D.

7．【答案】D

【解析】假设N＝2，程序执行过程如下：

t＝1，M＝100，S＝0，

1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，

2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，

3＞2，输出S＝90＜91，符合题意．

∴当N＝2时成立．显然2是最小值．

8．【答案】B

【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，

由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，

r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．

∴r＝＝.

∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×

2×

1＝.

9．【答案】A

【解析】由已知条件可得a1＝1，d≠0，

由a＝a2a6，可得（1＋2d）2＝（1＋d）（1＋5d），

解得d＝－2.

所以S6＝6×

1＋＝－24.

10．【答案】A

【解析】由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为（0,0），半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，

∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，

∴＝，

∴e＝＝＝＝＝.

11．【答案】C

【解析】方法一　f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）

＝（x－1）2＋a[ex－1＋e－（x－1）]－1，

令t＝x－1，则g（t）＝f（t＋1）＝t2＋a（et＋e－t）－1.

∵g（－t）＝（－t）2＋a（e－t＋et）－1＝g（t），

∴函数g（t）为偶函数．

∵f（x）有唯一零点，∴g（t）也有唯一零点．

又g（t）为偶函数，由偶函数的性质知g（0）＝0，

∴2a－1＝0，解得a＝.

方法二　f（x）＝0⇔a（ex－1＋e－x＋1）＝－x2＋2x.

ex－1＋e－x＋1≥2＝2，

当且仅当x＝1时取“＝”．

－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．

若a＞0，则a（ex－1＋e－x＋1）≥2a，

要使f（x）有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.

若a≤0，则f（x）的零点不唯一．

12．【答案】A

【解析】建立如图所示的直角坐标系，

则C点坐标为（2,1）．

设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.

∵CD＝1，BC＝2，

∴BD＝＝，

EC＝＝＝，

即圆C的半径为，

∴P点的轨迹方程为（x－2）2＋（y－1）2＝.

设P（x0，y0），则（θ为参数），

而＝（x0，y0），＝（0,1），＝（2,0）．

∵＝λ＋μ＝λ（0,1）＋μ（2,0）＝（2μ，λ），

∴μ＝x0＝1＋cosθ，λ＝y0＝1＋sinθ.

两式相加，得

λ＋μ＝1＋sinθ＋1＋cosθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3，

当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.

13．【答案】－1

【解析】不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

由z＝3x－4y，得y＝x－z.

平移直线y＝x，易知经过点A时，z有最小值．

由得

∴A（1,1）．

∴zmin＝3－4＝－1.

14．【答案】－8

【解析】设等比数列{an}