春华师版数学九年级下册274正多边形和圆Word格式.docx

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9．正六边形的中心角等于　_________　度．

10．正n边形的边长与半径的夹角为75°

，那么n=　_________　．

11．已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为　_________　cm．

12．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　_________　cm2．（结果保留π）

13．半径为1的圆内接正三角形的边心距为　_________　．

14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　_________　．

三．解答题（共6小题）

15．如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．

（1）求证：

△ABF≌△BCG；

（2）求∠AHG的度数．

16．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°

，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．

（1）当点M不与点A、B重合时，求证：

∠AFM=∠BMH．

（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．

17．如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．

18．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？

19．如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．

（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？

（2）设圆O的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．

20．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）

27.4正多边形和圆

参考答案与试题解析

A．10B．8C．6D．5

考点：

正多边形和圆．

分析：

设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°

求出n的值即可．

解答：

解：

设这个正多边形的边数是n，

∵正多边形的中心角是36°

，

∴=36°

，解得n=10．

故选A．

点评：

本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键．

A．12B．6C．12D．6

根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．

∵圆内接正六边形的周长为24，

∴圆内接正六边形的边长为4，

∴圆的半径为4，

如图，

连接OB，过O作OD⊥BC于D，

则∠OBC=30°

，BD=OB•cos30°

=4×

=2，

∴BC=2BD=4；

∴该圆的内接正三角形的周长为12，

本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．

A．B．2C．D．3

延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．

延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．

正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，

中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：

，则△BCE的边EC上的高是：

△ACE边EC上的高是：

则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×

4×

（﹣）=2．

故选：

B．

本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．

A．8cmB．4cmC．8cmD．4cm

欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；

根据垂径定理知：

BC=2BD，从而求正三角形的边长．

如图所示：

∵半径为8cm的圆的内接正三角形，

∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°

∴BD=cos30°

×

OB=×

8=4（cm），

∵BD=CD，

∴BC=2BD=8cm．

故它的内接正三角形的边长为8cm．

A．

本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出，∠OBD=30°

是解题关键．

A．B．C．D．

作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．解直角三角形即可．

正六边形可以分六个全等等边三角形，则这样的等边三角形的一边上的高为原正六边形的内切圆的半径；

因为等边三角形的边长为正六边形的外接圆的半径，

所以内切圆面积与外接圆面积之比=（sin60°

）2=．

D．

本题考查了正多边形和圆，利用正六边形可以分六个全等等边三角形进而得出是解题关键．

A．4B．6C．7D．8

边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，计算出正六边形的面积即可．

连接正六变形的中心O和两个顶点D、E，得到△ODE，

∵∠DOE=360°

=60°

又∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED=（180°

﹣60°

）÷

2=60°

则△ODE为正三角形，

∴OD=OE=DE=2，

∴S△ODE=OD•OM=OD•OE•sin60°

=×

2×

=．

正六边形的面积为6×

=6，

故选B．

本题考查了正多边形的计算，理解正六边形倍半径分成六个全等的等边三角形是关键，此题难度不大．

A．3B．2C3D．6

根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可．

⊙O的半径为3，

∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°

∴AC是⊙O的直径，

∴AC=2×

3=6，

∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，

∴AB2+BC2=36，

解得：

AB=3，

即⊙O的内接正方形的边长等于3，

故选C．

此题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出AB2+BC2=AC2是解题关键，此题难度一般．

根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．

设圆的半径为R，

如图

（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，

=R，

故BC=2BD=R；

如图

（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，

则△OBE是等腰直角三角形，

2BE2=OB2，即BE=R，

故BC=R；

故圆内接正三角形、正方形的边长之比为R：

R=：

=：

2．

本题考查的是圆内接正三角形、正方形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．

9．正六边形的中心角等于　60　度．

根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．

∵正六边形的六条边都相等，

∴正六边形的中心角==60°

．

故答案为：

60．

本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．

，那么n=　12　．

先根据正n边形的边长与半径的夹角为75°

求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于n的方程，求出n的值即可．

∵正n边形的边长与半径的夹角为75°

∴一个内角的度数=150°

，即=150°

．解得n=12．

12．

11．已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为　　cm．

根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．

如图，连接OA、OB；

过点O作OG⊥AB于点G．

在Rt△AOG中，

∵OA=2cm，∠AOG=30°

∴OG=OA•cos30°

=2×

=（cm）．

本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．

12如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　　cm2．（结果保留π）

专题：

计算题．

根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．

连接BO，CO，

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，

∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°

，△OBC是等边三角形，

∴CO∥AB，

在△COW和△ABW中

∴△COW≌△ABW（AAS），

∴图中阴影部分面积为：

S扇形OBC==．

此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．

13．半径为1的圆内接正三角形的边心距为　　．

几何图形问题．

作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．

如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．

∵等边三角形的内心和外心重合，

∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°

；

∵OD⊥BC，OB=1，

∴OD=．

考查了等边三角形的性质．注意：

等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．

14．如