二次函数讲义-详细.doc

二次函数讲义-详细.doc

《二次函数讲义-详细.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数讲义-详细.doc（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第一讲二次函数的定义

知识点归纳：

二次函数的定义：

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：

（1）是整式方程；

（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0

考点：

二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式

例1、函数y=（m＋）x＋2x－1是二次函数，则m=．

例2、下列函数中是二次函数的有（）

①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．

A．1个B．2个C．3个D．4个

例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．

例4、如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．

训练题:

1、已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．

2、若函数y=（m2+2m－7）x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。

3、已知函数y=（m－1）x2m+1+5x－3是二次函数，求m的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．

5、请你分别给a，b，c一个值，让为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、二、三象限

6．下列不是二次函数的是（）

A．y=3x2＋4B．y=－x2C．y=D．y=（x＋1）（x－2）

7．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）

A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n

C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数

8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．

（1）求梯形的面积y与高x的表达式；

（2）求x的取值范围．

9．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．

10．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．

（1）AE用含y的代数式表示为：

AE=；

（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．

第二讲二次函数的图像和性质

知识点归纳：

1、求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

，∴顶点是，对称轴是直线.

（2）运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

2、二次函数的图象及性质：

（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．

（2）二次函数的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线．要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。

3、图象的平移：

左加右减，上加下减

例1、

抛物线

y=－2x2＋6x－1

y=2x2＋6x－1

对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

例2、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．

（1）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；

（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．

例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：

（1）y=ax2经过（1，2）；

（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；

（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．

例4、抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是．

例7、已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）

（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；

（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．

例5、二次函数y=a（x－h）2的图象如图：

已知a=，OA＝OC，试求该抛物线的解析式。

例6、试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；

（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

例7、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。

训练题:

1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．

2．当m=时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．

3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．

4．当m=时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而．

5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．

6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．

7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）

A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2

8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）

A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定

9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）

A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称

C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点

10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）

11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）

A．4 B．2 C． D．

12.已知二次函数y=x2－x＋6，当x=时，y最小=；当x时，y随x的增大而减小．

13．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．

14．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。

15．当n＝______，m＝______时，函数y＝（m＋n）xn＋（m－n）x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

16．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a=时，该函数y的最小值为0.

17.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。

18.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

19.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝，b＝，c＝.

20.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，－1），那么移动后的抛物线的关系式为_.

21、右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

22、函数y=ax2（a≠0）的图像与直线y=-2x-3交于点（1,b）

（1）求a和b的值

（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大？

（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。

23、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．

（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？

（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

最大利润是多少？

24、某商场批单价为25元的旅游鞋。

为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：

按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

（1）求Y与X之间的函数关系式；

（2）在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；

（3）销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？

是多少？

第三讲函数的图象特征与a、b、c的关系

知识点：

a看开口方向，c看与y轴的交点位置，b结合a、看对称轴的位置。

例1、已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：

④，其中正确的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例2、已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：

①；②；③；④；⑤其中所有正确结论的序号是（）

A．①② B． ①③④

C．①②③⑤ D．①②③④⑤

1

1

O

x

y

训练题

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（　　　）

A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,