尚择优选指数函数典型例题详细解析.docx

尚择优选指数函数典型例题详细解析.docx

《尚择优选指数函数典型例题详细解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《尚择优选指数函数典型例题详细解析.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

尚择优选指数函数典型例题详细解析

指数函数·例题解析

第一课时

【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：

解

（1）定义域为{x|x∈R且x≠2}．值域{y|y＞0且y≠1}．

（2）由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为{|y|y≥0}．

（3）由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，

1.指数函数Y=ax（a>0且a≠1）的定义域是R，值域是（0，+∞）

2.求定义域的几个原则：

①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,（a≠0）

3.求函数的值域:

①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性（x2≥0;ax>0）③换元法.如:

y=4x+6×2x-8（1≤x≤2）先换元,再利用二次函数图象与性质（注意新元的范围）

【例2】（基础题）指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是

[]

A．a＜b＜1＜c＜d

B．a＜b＜1＜d＜c

C．b＜a＜1＜d＜c

D．c＜d＜1＜a＜b

解选（c），在x轴上任取一点（x，0），则得b＜a＜1＜d＜c．

【例3】（基础题）比较大小：

（3）4.54.1________3.73.6

解（3）借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6

∴4.54.1＞3.73.6．

说明如何比较两个幂的大小：

若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的

（1）．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的

（2）．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6（或3.74.1），如例2中的（3）．

例题4（中档题）

9

【例5】（中档题）作出下列函数的图像：

图像变换法

（3）y＝2|x-1|　（4）y＝|1－3x|

解

（2）y＝2x－2的图像（如图2．6－5）是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．

解（3）利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像（如图2．6－6）．

解（4）作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．（如图2．6－7）

例6（中档题）：

用函数单调性定义证明：

当a＞1时，y=ax是增函数.

【解析】设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2=x1+h（h＞0，h∈R），很独特的方式

则有，

∵a＞1，h＞0，∴，

∴，即

故y=ax（a＞1）为R上的增函数，

同理可证0＜a＜1时，y=ax是R上的减函数.

指数函数与二次函数的复合函数（由内到外分析）

二次函数为内层函数，指数函数为外层函数

例题7

中档题）

变式1求函数y=（）的单调区间，并证明之.

解法一（在解答题）：

在R上任取x1、x2，且x1＜x2，

则==（）（x2－x1）（x2+x1－2）【（）为底数，红色部分为指数】，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.

当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则＞1.

∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.

当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即＜1.

（此处点评：

上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性）

∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.

综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.

合作探究：

在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.

解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：

设：

则：

对任意的，有，

又∵是减函数

∴∴在是减函数

对任意的，有

又∵是减函数

∴∴在是增函数

在该问题中先确定内层函数（）和外层函数（）的单调情况，再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.

变式2已知且，讨论的单调性.

【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，

指数，当≥时是减函数，≤时是增函数，

而的单调性又与和两种范围有关，应分类讨论.

【解析】设

，

则当≥时，是减函数，当≤时，是增函数，

又当时，是增函数，

当时，是减函数，

所以当时，原函数在上是减函数，在上是增函数.

当时，原函数在上是增函数，在上是减函数.

【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；

；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.

第二课时

例题8：

（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元,再利用二次函数图象与性质（注意新元u的范围）

当x＝0时，函数y有最大值为1．

内层指数函数u=（1/2）x为减，当u在（0，1/2】时，此时外层二次f（u）为减函数，即x在【1，正无穷大），，则复合函数为增（画草图分析法）

点评：

（1）指数函数的有界性（值域）：

x2≥0;ax>0

（2）上述证明过程中，在两次求x的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。

变式：

求（3）的值域.

解

y

且.

故的值域为.

【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.

例题9（中档题）分式型指数函数

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）求f（x）的值域；

（3）证明f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数．

解

（1）定义域是R．

∴函数f（x）为奇函数．

反函数法，用指数函数值域

即f（x）的值域为（－1，1）．

（3）设任意取两个值x1、x2∈（－∞，＋∞）且x1＜x2．f（x1）－f（x2）

变式1设a是实数，

试证明对于任意a,为增函数；

证明：

设∈R,且

则

由于指数函数y=在R上是增函数,且,

所以即<0，

又由>0得+1>0,+1>0

所以<0即

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数

例题10（中档题）

抽象函数

例题10

变式1（疑难题）

第三课时

复合函数