路灯更换策略问题文档格式.docx
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（3）如果定义惩罚费用参数，试分析该参数对更换周期的影响；
假设，某路灯管理部门负责一条街道1600只灯泡的管理。
随机抽查该品牌灯泡的200个
寿命（单位:
小时）如附录1所示，假设每个灯泡的安装价格为80元，如果采用坏1换1
的策略，动用小型设备的一次性费用为10元；
采用整批更换策略需动用大型设备，一次
性费用为2000元，管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为0.5元/天。
求整批更换策略的最佳更换周期，比较两种策略的费用，并计算、分析所维护灯泡数量对以上结果的影响。
2.问题分析
全部更换一次灯泡的时间不妨称为更换周期,应当以路政部门单位时间支出的总费用最
小为目标,确定最佳的更换周期.其中总费用分为两部分:
更换灯泡的费用和要承受的罚款.前者是确定的,而后者与灯泡的寿命有关.根据常识,灯泡的寿命是随机的,在平均值附近有较大的波动,需要通过随机调查研究来确定灯泡寿命的一般规律进而计算由于部分灯泡寿命小于更换周期导致的罚款，最终确定最优的更换周期。
3.模型假设
1.由SPSS软件图形分析可假定灯泡的寿命是大致服从正态分布的[t~N（m,d2）]
2.假定没有人为的破坏灯泡的行为且灯泡均为合格的产品
3.整批更换之后,所有灯泡不再有使用的价值
4.假设所给200组数据是有代表性的,可以体现一般的规律
5.单个更换灯泡时,换过的灯泡在本周期内不会损坏，且一次就坏一个灯泡
4.符号系统
1.b：
整体更换灯泡时单位时间每个灯泡所承受的罚款费用；
2.A：
整体更换灯泡时灯泡的总更换费用；
3 m：
通过随机抽取的测试获得灯泡的期望寿命
4. d：
通过随机抽取的测试获得灯泡寿命的标准差
5 c：
单个更换灯泡时,更换一个灯泡所需要的费用（包括安装价格和动用设备的费用）
6. T（i）：
更换周期 i=1，2 单位：
天
7. W（i）:
总费用 i=1，2 单位：
元
8w（i）:
单位时间内的费用 i=1,2 单位：
元每天
9.T：
灯泡的寿命；
1 1 （t-m）^2
10.p（t）：
寿命t的概率密度函数即:
p（t）=
2*p*d*exp（-
2*d^2）
11.N：
灯泡的个数
问题一:
5.模型的建立
对于第一类的策略，显然应该是寿命最长的那个灯泡的寿命即为更换周期N
（1）,
但是由于灯泡的寿命是不确定因素,而正态分布中绝大部分的数据是在（m-3d~m+3d）区
间上,因此我们使用m+3d作为所有灯泡的最长的寿命,既是更换周期T
（1）.此种更换方式不
但会加重管理部门的工作量,而且不易控制,尽管灯泡的寿命是符合正态分布的,但还是无法人为获得每个灯泡具体的损坏时间,因此在现实中相当的不容易实行.
对于第二种策略,根据实际的情况可以得出,如果换得周期太短,则管理部门将会承担更多的更换费用,如果周期太长,则管理部门将要承担额外的罚款费用,同时由于影响了居民的出行,会造成负面的影响.因此必然存在一个合理的更换周期T
（2）.根据日常生活的经验可知灯泡的寿命是符合正态分布的,所以管理部门可以通过随机的抽取定量的灯泡来确定该批次的灯泡的寿命的期望,进而通过数学模型的计算,得出合理的更换周期,然后定期组织工作人员进行更换,而只要周期的选取适当,居民是可接受的,因此第二种策略相对与第一种比较可行.
问题二:
对于第一种策略的更换周期为
T
（1）=m+3d;
需要的总费用为
W
（1）=c*N
对于第二种策略的更换周期为T
（2）时所要承受的罚款为
T
（2）
N*b*ò
0 （T
（2）-t）*p（t））dt
W
（2）=A+N*b*ò
为寻求最佳的更换周期,我们将单位时间内支出的费用最小作为评价的标准,即:
单位时间内的费用越小该更换周期越优.
对于第一种策略的单位时间内的费用为
c*N
w
（1）=m+3d
对于第二种策略的单位时间内的费用为
W
（2）
w
（2）=
为求单位时间内的费用的最优解,我们利用微分来解决
dw
（2）
令 =0 可得
ò
T
（2）t*p（t）dt=A
dT
（2） 0 N*b
有积分的性质可以知道积分表示的是图形的面积,而且被积函数是大于零的,T
（2）为积分上限,所以T
（2）越大,积分值越高,即:
T
（2）与总更换费用和总惩罚费用的比值成正比关系,当更换的费用越少,惩罚的费用越高时,更换的周期应该是越小的,这与实际情况是完全吻合的.
问题三:
单位时间内的惩罚费用为
N*b A
ò
T
（2）=T
（2）*T
（2）t*p（t）dt
即当更换费用一定时,单位时间内的惩罚费用与更换周期成反比关系,因此监管部门可以根据灯泡的平均寿命m来制定合理的惩罚费用,以此来监督管理部门的工作,既公平又有效,同时也能保证居民的生活出行方便.
T
（2）=T
（2）*mt*p（t）dt
由上式可以看出监管部门的惩罚参数应该以某一数值为参照,过高会使更换周期缩短,这样可能不会影响居民的方便的出行,可是会使管理部门在该方面的输出过高,进而可能会影响工作的人员的工资问题,不利于稳定工作人员的心态和工作状态,最终会导致工作效率和质量都无
法得到保障,但如果过低,管理部门的输出是减少了,但可能会严重影响居民的出行,给居民造成不便,监管和管理部门都可能会接到投诉,进而造成不好的社会影响,因此建议有关部门合理的制定惩罚参数是监管部门支撑居民和管理部门的平衡点,做到双赢是最佳的选择.
问题四:
以下两个图是我们用SPSS软件得出的,图一:
Statistics
VAR00001
N Valid
150
Missing
Mean
4006.073
3
Std.ErrorofMean
7.75040
Median
4002.550
0（a）
Mode
3888.10（
b）
Std.Deviation
94.92265
Variance
9010.310
Skewness
-.128
Std.ErrorofSkewness
.198
Kurtosis
-.087
Std.ErrorofKurtosis
.394
Range
475.80
Minimum
3755.10
Maximum
4230.90
Sum
600911.0
Percentiles 10
3887.700
0（c）
20
3928.600
25
3942.800
30
3966.150
40
3986.400
50
60
4027.400
70
4051.250
75
4067.200
80
4083.100
90
4127.950
图二:
Histogram
Frequency
15
10
5
3700.00
3800.00
3900.00
4000.00
4100.00
4200.00
4300.00
Mean=4006.0733
Std.Dev.=94.92265
N=150
由图一或者图二的左下方数据可得
本批次的灯泡的寿命期望为m=4006.0733小时,标准差d=94.92265小时因此第一种策略的更换周期为
T
（1）=m+3d=4006.0733+3*94.92265=4290.84125（小时）»
4291（小时）
第一种策略的总费用为
W
（1）=c*N=90*1600=144000（元）
因此第一种策略的单位时间内的费用为
w
（1）=m+3d=33.5586（元每小时）=805.4064（元每天）
对于第二种测略可知,A=2000（元）,单位时间的罚款费用为b=0.5（元每天）
由
N*b
单位时间内的惩罚费用 =
A
T
（2）*0
得
t*p（t）dt
而正态分布的密度函数为
t*p（t）dt=4000
将T
（2）*0
t*p（t）dt=4000两边同时求二次导数并且化简可得
3*p（T
（2））+T
（2）*p'
（T
（2））=0
将正态分布的密度函数代入上式可得
T
（2）^2—T
（2）*m+3*d^2=0
将上式运用Matlab求解可得
T
（2）=3999.8小时=166.67天
将求得的T
（2）的数值代入w
（2）= 中，再次运用Matlab（其中积分用int函数）求
1）模型假设与记号
更换全部灯泡的时间为周期T
对于损坏的灯泡可以立即更换，不计更换时间。
因此不
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