直线平面平行的判定与性质Word格式.docx
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2.空间两个平面有相交和平行两种位置关系.
两平面平行
两平面相交
有一条公共直线
α∥β
α∩β=a
3.直线与平面平行的判定定理和性质定理
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图形语言
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判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)
因为l∥a,a⊂α,lα,所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)
因为l∥α,l⊂β,α∩β=b,所以l∥b
4.平面与平面平行的判定定理和性质定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)
因为a∥β,b∥β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α,所以α∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
因为α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,所以a∥b
5.判定直线和平面平行的常用方法:
(1)利用判定定理:
关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
(2)利用面面平行的性质:
当两平面平行时,其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面.
(3)利用:
如果∥平面,∥,且平面,则∥平面.
6.证明面面平行的方法:
(1)面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(2)面面平行的传递性:
两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(3)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;
7.常用的面面平行的其他几个性质:
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面;
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等;
(3)如果一条直线垂直于两平行平面的一个平面,那么这条直线平行于另一个平面;
(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行;
8.证明线线平行的常用方法:
(1)平行公理:
(2)线面平行的性质;
(3)面面平行的性质;
(4)直线与平面垂直的性质.
(5)利用平面几何知识也可证线线平行;
【课前预习】
1.(必修2P45练习2改编)在正六棱柱的表面中,互相平行的平面有________对.
答案:
4
解析:
3对侧面,1对上下底面.
2.(必修2P35练习2改编)若直线∥,且平面,则直线与平面的位置关系
为.
∥,或平面.
注意考虑问题要全面.
3.在长方体的各面中,和其中一条棱平行的平面有______个.
2
借助正方体的直观图易知,在正方体的六个面中,和其中一条棱平行的平面
有两个.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对截面中彼此平行的一对截面是________.
①平面A1BC1和平面ACD1 ②平面BDC1和平面B1D1C
③平面B1D1D和平面BDA1 ④平面ADC1和平面AD1C
①
如图,结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A1BC1∥平面ACD1
5.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过P点的两条直线AC,BD分别交α于A,B,交β于C,D,且PA=6,AC=9,AB=8,则CD的长为________。
20或4
若P在α,β的同侧,由于平面α∥平面β,故AB∥CD,则==,可求得CD=20;
若P在α,β之间,则==,可求得CD=4。
【典型例题】
目标1平行关系的基本问题
例1
(1)已知直线a,b,平面α,β,且a∥b,a∥α,α∥β,则直线b与平面β的位置关系为____.
b∥β或b⊂β
因为a∥b,a∥α,所以b∥α或b⊂α,因为α∥β,所以b∥β或b⊂β.
(2)过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.
平行
显然A1C1∥平面ABCD,因为A1C1平面A1BC1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,所以A1C1∥l.
【借题发挥】
变式在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是.
平行和异面
因为AB∥CD,AB⊂平面平面α,CD平面α,所以CD∥平面α,所以CD与平面α内的直线可能平行,也可能异面.
【规律方法】
1.注意判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的条件中“线在面外”易忽视.
2.结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
3.会举反例或用反证法推断命题是否正确.
【同步拓展】
1.给出下列四个命题:
①若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;
②若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行;
③若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b;
④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
其中正确的是________(填序号).
2.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个).
3.(2017·
苏北四市调研)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;
④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中是真命题的是________(填序号).
1.④;
2.必要不充分;
3.②
解析1:
根据线面平行的判定与性质定理知,④正确.
解析2:
当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.
当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
解析3:
①m∥n或m,n异面,故①错误;
易知②正确;
③m∥β或m⊂β,故③错误;
④α∥β或α与β相交,故④错误.
目标2直线与平面平行的判定与性质
例2如图所示,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,
A1C1上的中点.
(1)证明:
AD1∥平面BDC1.
(2)证明:
BD∥平面AB1D1.
(1)因为D1,D分别为A1C1与AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形,
所以C1D1∥DA,
所以四边形ADC1D1为平行四边形,
所以AD1∥C1D,
又AD1平面BDC1,C1D⊂平面BDC1,
所以AD1∥平面BDC1.
(2)连接D1D,
因为BB1∥平面ACC1A1,BB1⊂平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,
所以BB1∥D1D,
又D1,D分别为A1C1与AC的中点,
所以BB1=DD1,
故四边形BDD1B1为平行四边形,
所以BD∥B1D1,
又BD平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,
所以BD∥平面AB1D1.
变式1将本题条件“D1,D分别为A1C1,AC上的中点”变为“D1为A1C1上的点”.在线段A1C1上确定点D1使得BC1∥平面AB1D1
如图,取D1为线段A1C1的中点,此时=1,
连接A1B交AB1于点O,连接OD1,
由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形,
所以O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
所以OD1∥BC1,又OD1⊂平面AB1D1,BC1平面AB1D1,
所以BC1∥平面AB1D1
所以当=1时,BC1∥平面AB1D1.
变式2将本题条件“D,D1分别为AC,A1C1上的中点”变为“D,D1分别为AC,A1C1上的点且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求的值.
连接A1B交AB1于点O,
由平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O得BC1∥D1O,
所以=.
同理得DC1∥AD1,
又因为D1C1∥AD,
所以D1C1=AD.
所以=,=1,
所以=1,即=1.
证明直线与平面平行的方法:
1.定义法:
一般用反证法;
2.判定定理法:
关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程;
3.性质判定法:
即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.
在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
GH∥平面PAD.
证明
(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=AD,
E为AD的中点,∴BC綊AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点,
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
又FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,又PD⊂平面PAD,FH⊄平面PAD,
∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,又∵AD⊂平面PAD,OH⊄平面PAD,
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
目标3平面与平面平行的判定与性质
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求证:
(1)直线EG∥平面BDD1B1;
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
(1)如图,连结BS,因为E、G分别是BC、SC的中点,
所以EG∥BS.
又因为BS⊂平面BDD1B1,EG平面BDD1B1,
所以EG∥平面BDD1B1.
(2)因为F、E分别是DC、BC的中点,所以FE∥BD.
又因为BD⊂平面BDD1B1,FE平面BDD1B1,
所以FE∥平面BDD1B1,
由
(1)知EG∥平面BDD1B1,
且EG⊂平面EFG,EF⊂平面EFG,EG∩EF=E,
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
证明平面与平面平行的方法:
(1)利用定义;
(2)利用面面平行的判定定理;
(3)利用面面平行的判定定理的推论;
(4)面面平行的传递性(α∥β,β∥γ⇒α∥γ);
(5)利用线面垂直的性质(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).
变