直线平面平行的判定与性质Word格式.docx

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图形表示

2.空间两个平面有相交和平行两种位置关系．

两平面平行

两平面相交

有一条公共直线

α∥β

α∩β＝a

3．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行线面平行）

因为l∥a，a⊂α，lα，所以l∥α

性质定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行线线平行”）

因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b

4．平面与平面平行的判定定理和性质定理

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行”）

因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b

5．判定直线和平面平行的常用方法：

（1）利用判定定理：

关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

（2）利用面面平行的性质：

当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．

（3）利用：

如果∥平面，∥，且平面，则∥平面．

6．证明面面平行的方法：

（1）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（2）面面平行的传递性：

两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（3）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

7．常用的面面平行的其他几个性质：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；

（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；

（3）如果一条直线垂直于两平行平面的一个平面，那么这条直线平行于另一个平面；

（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；

（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行；

8．证明线线平行的常用方法：

（1）平行公理：

（2）线面平行的性质；

（3）面面平行的性质；

（4）直线与平面垂直的性质．

（5）利用平面几何知识也可证线线平行；

【课前预习】

1.（必修2P45练习2改编）在正六棱柱的表面中，互相平行的平面有________对．

答案：

4

解析：

3对侧面，1对上下底面．

2.（必修2P35练习2改编）若直线∥，且平面，则直线与平面的位置关系

为．

∥，或平面．

注意考虑问题要全面．

3.在长方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有______个．

2

借助正方体的直观图易知，在正方体的六个面中，和其中一条棱平行的平面

有两个．

4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是________．

①平面A1BC1和平面ACD1　②平面BDC1和平面B1D1C　

③平面B1D1D和平面BDA1　④平面ADC1和平面AD1C

①

如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A1BC1∥平面ACD1

5.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________。

20或4

若P在α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，则＝＝，可求得CD＝20；

若P在α，β之间，则＝＝，可求得CD＝4。

【典型例题】

目标1平行关系的基本问题

例1

（1）已知直线a，b，平面α，β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为____．

b∥β或b⊂β

因为a∥b，a∥α，所以b∥α或b⊂α，因为α∥β，所以b∥β或b⊂β．

（2）过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

平行

显然A1C1∥平面ABCD，因为A1C1平面A1BC1，平面A1BC1∩平面ABCD=l，所以A1C1∥l．

【借题发挥】

变式在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系是．

平行和异面

因为AB∥CD，AB⊂平面平面α，CD平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．

【规律方法】

1.注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中“线在面外”易忽视．

2.结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

3.会举反例或用反证法推断命题是否正确．

【同步拓展】

1．给出下列四个命题：

①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；

②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；

③若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.

其中正确的是________（填序号）．

2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个）．

3．（2017·

苏北四市调研）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；

④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.

其中是真命题的是________（填序号）．

　1．④；

2．必要不充分；

3．②

解析1：

　根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．

解析2：

当m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交．

当α∥β时，由m⊂α可知，m∥β.

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．

解析3：

①m∥n或m，n异面，故①错误；

易知②正确；

③m∥β或m⊂β，故③错误；

④α∥β或α与β相交，故④错误．

目标2直线与平面平行的判定与性质

例2如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，

A1C1上的中点．

（1）证明：

AD1∥平面BDC1.

（2）证明：

BD∥平面AB1D1.

（1）因为D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，

所以C1D1∥DA，

所以四边形ADC1D1为平行四边形，

所以AD1∥C1D，

又AD1平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，

所以AD1∥平面BDC1.

（2）连接D1D，

因为BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，

所以BB1∥D1D，

又D1，D分别为A1C1与AC的中点，

所以BB1＝DD1，

故四边形BDD1B1为平行四边形，

所以BD∥B1D1，

又BD平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，

所以BD∥平面AB1D1.

变式1将本题条件“D1，D分别为A1C1，AC上的中点”变为“D1为A1C1上的点”．在线段A1C1上确定点D1使得BC1∥平面AB1D1

如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1，

连接A1B交AB1于点O，连接OD1，

由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形，

所以O为A1B的中点．

在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，

所以OD1∥BC1，又OD1⊂平面AB1D1，BC1平面AB1D1，

所以BC1∥平面AB1D1

所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.

变式2将本题条件“D，D1分别为AC，A1C1上的中点”变为“D，D1分别为AC，A1C1上的点且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．

连接A1B交AB1于点O，

由平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，

平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，

所以＝.

同理得DC1∥AD1，

又因为D1C1∥AD，

所以D1C1＝AD.

所以＝，＝1，

所以＝1，即＝1.

证明直线与平面平行的方法：

1.定义法：

一般用反证法；

2.判定定理法：

关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；

3.性质判定法：

即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．

在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

GH∥平面PAD.

证明　

（1）连接EC，

∵AD∥BC，BC＝AD，

E为AD的中点，∴BC綊AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点，

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.

（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，

∴FH∥平面PAD.

又∵O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，又∵AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，

∴OH∥平面PAD.

又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.

又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.

目标3平面与平面平行的判定与性质

例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1．

（1）如图，连结BS，因为E、G分别是BC、SC的中点，

所以EG∥BS．

又因为BS⊂平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，

所以EG∥平面BDD1B1．

（2）因为F、E分别是DC、BC的中点，所以FE∥BD．

又因为BD⊂平面BDD1B1，FE平面BDD1B1，

所以FE∥平面BDD1B1，

由

（1）知EG∥平面BDD1B1，

且EG⊂平面EFG，EF⊂平面EFG，EG∩EF＝E，

所以平面EFG∥平面BDD1B1．

证明平面与平面平行的方法：

（1）利用定义；

（2）利用面面平行的判定定理；

（3）利用面面平行的判定定理的推论；

（4）面面平行的传递性（α∥β，β∥γ⇒α∥γ）；

（5）利用线面垂直的性质（l⊥α，l⊥β⇒α∥β）．

变