最新高考概率和应用题汇总Word格式.docx
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（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×
20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
2（湖南理20）。
如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。
E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×
S成正比，比例系数为；
（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。
解：
（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故，
（II）由（I）知
当时，
故
（1）当时，y是关于v的减函数，
故当
（2）当时，在上，y是关于v的减函数，
在上，y是关于v的增函数，
3（江苏17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=cm
（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问应取何值？
（2）某广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问应取何值？
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
P
设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得
（1）
所以当时，S取得最大值.
（2）
由（舍）或x=20.
所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值.
此时装盒的高与底面边长的比值为
4（福建理18）。
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：
千克）与销售价格x（单位：
元/千克）满足关系式，其中3<
x<
6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。
（I）因为x=5时，y=11，所以
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而，
于是，当x变化时，的变化情况如下表：
（3，4）
4
（4，6）
+
-
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42。
答：
当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
5.（山东理21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：
米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元，设该容器的建造费用为千元．
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．
（I）设容器的容积为V，
由题意知
由于
因此
所以建造费用
（II）由（I）得
令
所以
（1）当时，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，
当函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
二、概率应用题
5.（2011年高考天津卷理科16）学校游园活动有这样一个游戏项目：
甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.
（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则
.
（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又
且互斥,所以.
（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,
P（=0）=,
P（=1）=,
P（=2）=,
所以的分布列是
1
2
的数学期望=+=.
6、（2011年高考全国新课标卷理科19）（本小题满分12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
频数
8
20
42
22
B配方的频数分布表
12
32
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：
元）与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
解析：
（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P（X=-2）=0.04,P（X=2）=0.54,P（X=4）=0.42,
X
-2
0.04
0.54
0.42
即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×
0.04+2×
0.54+4×
0.42=2.68
7、（2011年高考湖南卷理科18）（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
3
5
9
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.
求当天商店不进货的概率；
记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.
=+
由题意知，的可能取值为2，3.
故的分布列为
所以的数学期望为.
8、（2011年高考陕西卷理科20）（本小题满分13分）
如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
的频率
0.1
0.2
0.3
0.4
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。
【解析】：
（Ⅰ）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率可得，。
甲应选择
，乙应选择
（Ⅱ）A、B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知又由题意知，A，B独立，
X的分布列为
9、（2011年高考重庆卷理科17）（本小题满分13分。
（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）
某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:
（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;
（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。
（Ⅰ）所有可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为
（Ⅱ）的所有可能值为1,2,3.又
，，
综上知，的分布列为：
1
2
3
从而有
10、（2011年高考四川卷理科18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。
有人独立来该租车点则车骑游。
各租一车一次。
设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；
两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；
两人租车时间都不会超过四小时。
（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；
（1）所付费用相同即为元。
设付0元为，付2元为，付4元为
则所付费用相同的概率为
（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为
11、（2010浙江理数）19.（本题满分l4分）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．
（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k（k=1,2,3）等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；
（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．
本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
（Ⅰ）解：
由题意得ξ的分布列为
ξ
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