132 梯形题库学生版Word下载.docx
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四边形中还有一类特殊的四边形,它们的一组对边平行而另一组对边不平行,这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类:
等腰梯形和直角梯形.
叫做梯形.
2.等腰梯形
3.直角梯形
是直角梯形.
4.平行线等分线段定理
.
5.中位线定理
⑴三角形中位线定理
中:
.
⑵梯形中位线定理
梯形中:
二、等腰梯形
1.等腰梯形的性质
①等腰梯形同一底边上的两个角相等;
②等腰梯形的两条对角线相等.
③等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,底边的垂直平分线是它的对称轴;
2.等腰梯形的判定
①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形.
②对角线相等的梯形是等腰梯形.
三、梯形中常见的辅助线
我们可以看到,梯形本身的性质并不多,所以实际解梯形的问题时,往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形,三角形是最简单的直线形,而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.
1.作梯形的高:
一般是过梯形的一个顶点作高,其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形,从而可以用勾股定理,如果过梯形的两个顶点分别作高,则会出现矩形.
2.过梯形的一个顶点作另一腰的平行线:
这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形,这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中,并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差,从而将问题集中到三角形中.
3.延长梯形的两腰交于一点:
这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.
4.过梯形一腰的中点作另一腰的平行线:
可以将梯形等积变换成一个平行四边形.
5.连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边:
可以将梯形等积变换成一个三角形.
常见的辅助线添加方式如下:
梯形中的辅助线较多,其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理.解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线.
重、难点
1、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念,并了解它们之间的关系.
2、探索等腰梯形的有关性质和常用判别方法,并能运用它们进行有关的证明和计算.
3、通过对梯形辅助线的探索,学会将未知问题转化为已知问题,培养化归意识.
例题精讲
一、特殊梯形的性质和判定
【例1】已知:
如图,在梯形中,,,是底边的中点,连接.求证:
是等腰三角形.
【例2】如图,等腰梯形中,,,平分,且,则梯形的周长等于________.
【例3】如图,在等腰梯形中,,=4=,=45°
.直角三角板含45°
角的顶点在边上移动,一直角边始终经过点,斜边与交于点.若为等腰三角形,则的长等于.
【例4】如图,某校有一呈梯形状的运动场,现只测量出的面积为,的面积为,则梯形状运动场的面积为
【例5】如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,以下四个结论:
①,②OA=OD,③,④S=S,其中正确的是()
A.①②B.①④
C.②③④D.①②④
【例6】有一水库大坝的横截面是梯形,,为水库的水面,点在上,某课题小组在老师的带领下想测量水的深度,他们测得背水坡的长为12米,迎水坡上的长为2米,,求水深.(精确到0.1米,)
【例7】在等腰梯形中,,,则下底的长
为.
【例8】如图,在直角中,,,,为的中点,从作与的延长线相交于,以、为邻边作长方形,连接,则的长为_________.
【例9】如图,在梯形中,延长至,使.
⑴求的度数
⑵求证:
为等腰三角形。
【例10】如图所示.四边形ABCF中,.
(1)求证:
是等腰梯形;
(2)若的周长为16厘米,厘米,厘米,求四边形的周长.
二、过顶点向底边作垂线
【例11】如图,已知等腰梯形周长是20,,,,对角线平分,求梯形的面积.
【例12】如图,在梯形中,,,,于,,求梯形的高.
【例13】如图,等腰梯形中,,,对角线与相交于点,,,.求等腰梯形的面积.
【例14】梯形的上底为,下底为(),两个底角分别为、,求梯形的面积.
【例15】如图,在梯形中,,,联结.
(1)求的值;
(2)若分别是的中点,联结,求线段的长.
【例16】等腰梯形的下底等于对角线,而上底等于高,则上底与下底的比值为.
【例17】如图,已知梯形中,,,,,
⑴求证:
;
⑵若和交于,求证:
.
【例18】如图,梯形中,,求的长.
二、过顶点作一腰的平行线
【例19】(2007年北达资源期末考试)如图所示,在梯形中,,平分,若,,,求的长.
【例20】如图,已知等腰梯形中,,,,则此等腰梯形的周长为( )
A.19B.20C.21D.22
【例21】如图所示,在梯形中,,,,,并且,
则该梯形的面积为_________.
【例22】在梯形中,,、分别是、的中点,,则
_________.
【例23】如图,在梯形中,,,,、、、分别是、、、的中点,已知,,则=___________.
【例24】在梯形中,,.
⑴如图甲,连接,如果的面积为,求梯形的面积;
⑵如图乙,是腰上一点,连接,设和四边形的面积分别为和,
且,求的值;
⑶如图丙,如果,于点,且,求的度数.
【例25】在直角梯形中,,,,,分别为的中点,连结。
⑴判断四边形的形状(不证明);
⑵在不添加其它条件下,写出图中一对全等的三角形,用符号“”表示,并证明。
⑶若,求四边形的面积。
【例26】如图,梯形中,,是的垂直平分线,垂足为,与相交于,与的延长线相交于,求证:
二、平移对角线
【例27】如图,等腰梯形中,,则的度数是_________.
【例28】如图,等腰梯形的下底,两对角线相互垂直且长均为.试求上底的长及梯形的面积,并讨论问题有解时与之间的关系.
【例29】已知:
如图,梯形中,.求:
梯形中位线的长.
板块三与梯形腰的中点及中点相关的题型
【例30】如图,梯形中,,,是的中点,试比较、的大小.
【例31】如图,梯形中,,是的中点.
⑴当、、满足什么关系时,?
⑵若,是否有?
⑶当时,、满足什么关系?
⑷若,、、满足何种关系?
【例32】如图,在梯形中,,是的中点,的面积为,则四边形的面积为_________.
【例33】如图,等腰梯形中,,,,是的中点,若,则梯形的面积为_______.
【例34】如图,在梯形中,,是的中点,,垂足为.
求证:
梯形面积.
【例35】如图,在梯形中,,,是上的点,,,是的中点.求证:
是等腰直角三角形.
【例36】已知:
如图,在梯形中,是的中点,求证:
【例37】如图,在梯形中,,,,,,为中点,交于点,求的长.
【例38】已知:
如图,梯形中,,,且平分.若梯形的周长为,求:
梯形的中位线长.
【例39】梯形中,,,,,,则的长为_________.
【例40】在梯形中,两底,,对角线,且,则________.
【例41】如图,在梯形中,,,,,.求的长.
【例42】如图,等腰梯形中,对角线于,若,求梯形的高
【例43】已知:
如图,在梯形中,对角线,,求该梯形的面积
【例44】如图,梯形中,,,是的中点,,,则__________.
【例45】已知:
如图,在梯形中,,,,于点,,.求的长.