数学建模讲稿1插值拟合方程求根PPT资料.ppt
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linear线性插值；
spline三次样条插值；
cubic立方插值缺省时表示线性插值.注意：
所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
例在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为12，9，9，10，18，24，28，27，25，20，18，15,13推测下午1点（即13点）时的温度,键人：
x=0：
2：
24；
y=129910182428272520181513；
x113；
y1interp1（x，y，xl,spline）输出的y1即为所求,若要得到一天24小时的温度曲线，只需继续键人：
x20：
13600：
y2=interp1（x,y,x2,spline）;
plot（x,y,o,x2,y2）,2）高维插值,N维插值函数interpN（）其中N可以为2，3，如N2为二维插值，,调用格式为:
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,method）,其中x,y为原始数据的第一和第二维坐标，z为函数值，函数返回在xi,yi所指定位置插值所得的函数值，method表示采用的插值方法，最邻近插值，线性插值，双三次插值。
缺省时表示线性插值所有的插值方法都要求x和y是单调的网格，x和y可以是等距的也可以是不等距的,例气旋变化情况的可视化下表是气象学家测量得到的气象资料，它们分别表示在南半球按不同纬度,不同月份的平均气旋数字根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图形,y=5:
10:
85;
x=1:
12;
z=2.4,1.6,2.4,3.2,1.0,0.5,0.4,0.2,0.5,0.8,2.4,3.6;
0.3,0,0,0.3,0,0,0.1,0.2,0.3,0,0.1,0.3xi,yi=meshgrid（1:
0.1:
12,5:
85）;
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,）;
mesh（xi,yi,zi）xlabel（月份）ylabel（纬度）zlabel（气旋）axis（012090050）title（南半球气旋可视化图形）,x=123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112y=555555555555151515151515151515151515252525252525252525252525353535353535353535353535454545454545454545454545555555555555555555555555656565656565656565656565757575757575757575757575858585858585858585858585,x,y=meshgrid（1:
二、拟合,曲线拟合：
根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数yf（x）,即曲线y=f（x），使这些点与曲线总体来说尽量接近。
在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律，测得一组数据如下表,1.引例,时间与浓度的散点图,根据散点图，可以假定y与t的函数为,如何具体地确定函数关系？
2.最小二乘法,最小二乘法的原理是求s（x）,使,达到最小.,已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢？
可以根据散点图进行直观判断，在此基础上，选择几种曲线分别拟合，然后观察哪条曲线的最小二乘指标最小.,常用的拟合函数,多项式函数双曲线指数曲线等,3、拟合原理,由,可知,因此可假设,因此求最小二乘解转化为,二次函数,由多元函数取极值的必要条件,得,即,-（4）,即,引入记号,则由内积的概念可知,-（5）,-（6）,显然内积满足交换律,方程组（4）便可化为,-（7）,将其表示成矩阵形式,-（8）,2.曲线拟合的MATLAB实现,引例的求解,t=l:
16；
y=46.488.49.289.59.79.861010.210.3210.4210.510.5510.5810.6；
p=polyfit（t,y,2）（二次多项式拟合）,计算结果：
p=-0.04451.07114.3252%二次多项式的系数,由此得到某化合物的浓度y与时间t的拟合函数,对函数的精度如何检测呢？
仍然以图形来检测,3，非线性拟合命令：
lsqcurvefit、lsqnonlin
（1）lsqcurvefit:
c=lsqcurvefit（fun,x0,xdata,ydata）其中fun为拟合函数的M-函数文件名,x0为初始向量,也即拟合解是靠迭代求解得到的，初始值的选取好坏直接影响最终的求解。
xdata,ydata为参与曲线拟合的实验数据。
函数返回值c为非线性函数fun的拟合系数。
例2:
2004年全国大学生数学建模竞赛C题（酒后驾车）中给出某人在短时间内喝下两瓶啤酒后,间隔一定的时间t测量他的血液中酒精含量y（毫克/百毫升）,得到数据如表1所示。
根据微分方程模型得到短时间内喝酒后血液中酒精浓度与时间的关系为现通过已有数据来拟合C_1,C_2,C_3先建立拟合函数examp21functionf=examp21（c,tdata）f=c
（1）.*（exp（-c
（2）.*tdata）-exp（-c（3）.*tdata）;
然后运行以下程序：
tdata=0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516;
ydata=3068758282776868585150413835282518151210774;
c0=111;
fori=1:
50c=lsqcurvefit（examp21,c0,tdata,ydata）;
c0=cEnd求解为：
c=114.24720.18522.0126,
（2）lsqnonlin用法：
lsqsnonlin（fun,c0）。
求含参量非线性函数fun中的参量c,使得各数据点函数值fun的平方和最小。
例如用lsqsnonlin（fun,c0）命令求解上例的过程如下:
先建立拟合函数，注意跟上面的不同functionff=examp22（c,tdata,ydata）tdata=0.250.50.7511.522.533.544.55678910111213141516;
ff=c
（1）.*（exp（-c
（2）.*tdata）-exp（-c（3）.*tdata）-ydata;
然后运行：
50c=lsqnonlin（examp22,c0）;
c0=cend求解为：
c=114.24720.18522.0126,例估计水塔的水流量,某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供水塔高12.2米，直径17.4米水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每天水泵工作两次现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；
当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作可以考虑用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率下表是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录（表1中用符号表示）试建立合适的数学模型，推算任意时刻的用水率、一天的总用水量和水泵工作功率,表1水位测量记录,问题分析与数据处理由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f（t），如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f（t）在若干个点的函数值，则f（t）的计算问题就可以转化为插值或拟合问题,1假设1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度.3）水塔为标准圆柱体考虑到假设2）结合表1中具体数据，推断得出水泵第一次供水时间段为9，11，第二次供水时间段为20.8，234）影响水箱流量的唯一因素是居民对水的普通要求.5）由于水塔截面积是常数，先算出单位时间流出的水的高度.,分析,一天有两个供水段和三个水泵不工作的时间段（分别成为第一，第二段，第三段）一、二段数据多直接用多项式拟合得水位函数，求出流量。
第三段因记录少,利用前段用外推的方法来处理，水泵工作段因没有记录，也得另想办法,记号,t-输入时刻h-水位纪录（cm）ci-第i时刻段拟合多项式的系数ai-第i时刻段拟合多项式的导数的系数,步骤,1）拟合1，2，3段的水位，并求出流量2）拟合供水段的流量3）求出一天总用水量4）流量及总用水量的检验5）结果6）分析与改进,程序：
t=00.921.8425.91;
h=9689489311018;
%排除供水时刻的4个数据c1=polyfit（t（1:
10），h（1:
10）,3）;
a1=polyder（c1）;
tp1=0:
9x1=-polyval（a1,tp1）;
c2=polyfit（t（11:
21），h（11:
21）,3）;
a2=polyder（c2）;
tp2=11:
20.8x2=-polyval（a2,tp2）;
%在第1供水段之前和之后各取几点，用来拟合第一供水段%的流量xx1=-polyval（a1,8,9）;
xx2=-polyval（a2
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