代数推理题怎么解.docx
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代数推理题怎么解
代数推理题怎么解
数学是“教会年轻人思考”的科学，针对代数推理型问题，我们不但要寻求它的解法是什么，还要思考有没有其它的解法，更要反思为什么要这样解，不这样解行吗？
我们通过典型的问题，解析代数推理题的解题思路，方法和技巧•在解题思维的过程中，既重视通性通法的演练，又注意特殊技巧的作用，同时将函数与方程，数形结合，分类与讨论，等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中
24
（x）二a、-x-4x，g（x）x1，
3
f（x）乞g（x），求a的取值范围
讲解：
A
由f（x）—g（x）实施移项技巧，得
24入■24.
-X-4xx1-a，令C:
y=-x-4x,L:
yx1-a,,
33
从而只要求直线L不在半圆C下方时，直线L的y截距的最小值
故a_-5时，f（x）乞g（x）.
本例的求解在于实施移项技巧，关键在于构造新的函数，进而通过解几模型进行推理
解题，当中，渗透着数形结合的数学思想方法，显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.
还须指出的是：
数形结合未必一定要画出图形，但图形早已在你的心中了，这也许是解
题能力的提升，还请三思而后行.
11112
例2已知不等式loga（a-1）对于大于1的正整数n
n+1n+22n123
恒成立，试确定a的取值范围.
111
讲解：
构造函数f（n），易证（请思考：
用什么方法证明
n+1n+22n
呢?
）f（n）为增函数.
即loga（a-1）_-1，解得
这里的构造函数和例1属于同类型，学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁
通，举一反三，总结一些解题的小结论.针对恒成立的问题，函数最值解法似乎是一种非常
有效的同法，请提炼你的小结论
229
例3已知函数f（x）=Ox-3x4b（b0）在区间［—b,1—b］上的最大值为
4
25,求b的值.
讲解：
由已知二次函数配方，得f（x）=；（x+b2+4b2+3.
2
（1）当—b虫-1^1-b,即1乞b乞？
时，f（x）的最大值为4b+3=25.
222
.2253
.b与b矛盾；
422
11
（2）当b,即0:
:
:
b时,f（x）在［_b,1-b］上递增，
22
■f（―b）=（b|）2<25;
13
（3）当1-b,即b-—时，f（x）在［-b,1-b］上递增，
22
2155
f（1—b）=b9625,解得b
42
关于二次函数问题是历年高考的热门话题，值得读者在复课时重点强化训练.针对
1
抛物线顶点横坐标在不在区间［—b,1—b］,自然引出解题形态的三种情况，这显示了分
2
类讨论的数学思想在解题当中的充分运用•该分就分，该合就合,这种辨证的统一完全依具
体的数学问题而定，需要在解题时灵活把握.
x
例4已知f（x）（X=-1）.
x+1
（1）求f（x）的单调区间;
13
⑵若ab°"口，求证：
f（a）f（C）7
讲解：
（1）对已知函数进行降次分项变形，得f（x）=1-1
-f（x）在区间（-二,-1）和（T,r）上分别单调递增.
（2）首先证明任意xy0,有f（x•y）：
：
：
f（x）f（y）.
=f（xyxy）
十宀「丄x丄yxy+xy+x+yxy+x+y
事实上,f（x）f（y）
x+1y+1xy+x+y+1xy+x+y+1
而xyxy.xy,由
（1）知fxyxyif（xy）,
f（x）f（y）f（xy）
丄1^140
C20，
（a—b）b（^bb）2a2
（2）
aa4
ac2_3.
22a2
3
.f（a）f（c）f（ac）_f（3）.
4
函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题型，在高考备考中有较高的训练价值..针对本例的求解，你能够想到证明任意
xy0,有f（xy^：
f（xpf（y）.采用逆向分析法，给出你的想法！
x
a
例5已知函数f（x）=（a>0,a^l）.
a，薦
11
（1）证明函数f（x）的图象关于点P（—,—）对称.
22
（2）令an=，对一切自然数n,先猜想使an>n2成立的最小自然数a,并证明
f（1-n）
之.
1
（3）求证：
一n（n1）lg3（lgn!
）（n€n）.
4
讲解：
（1）关于函数的图象关于定点P对称，可采用解几中的坐标证法.
11
设Mx,y）是f（x）图象上任一点，则M关于F（-,）的对称点为M（l—x,l—y）,
22
Ua
.aax
1_y=1_
.f（1_x）=1_y
•••M'（1-x,1-y）亦在f（x）的图象上，
11
故函数f（x）的图象关于点F（丄，）对称.
22
⑵将f（n）、f（1-n）的表达式代入an的表达式，化简可得an=a"猜a=3,即3n>n2.
下面用数学归纳法证明.
吃©Ig32lg（12n）,
2
故-（n-1）lg3lg（n!
）.
4
函数与数列综合型问题在高考中频频出现，是历年高考试题中的一道亮丽的风景线•针
对本例，你能够猜想出最小自然数a=3吗？
试试你的数学猜想能力.
例6已知二次函数f（x）二ax2bx-1（a,b•R,a0），设方程f（x）二x的两个实根为
Xi和X2.
（1）如果x1:
:
2■■■■x2:
:
:
4，若函数f（x）的对称轴为x=xo,求证：
xo>—1；
（2）如果|捲|：
：
：
2,|x2-x|=2，求b的取值范围
讲解：
（1）设g（x）=f（x）—x=ax2•（b-1）x•1且a0,由x1：
：
：
2：
：
：
x2:
:
:
4得
g
（2）<0,且g（4）0,即
故b.1.-
故X011；
2a/1
4-
8
（2）由g（x）=ax2（b-1）x1=0,可知x1x^丄0,x1,x2同号.
a
①若0：
：
x1:
:
2,则x2—Xt=2,.x2=Xt22,.g
（2）=4a2b-1：
：
0.
又|X2-X1|2=1-4=4得2a•仁（^1）21（a0，负根舍去）代入上式得aa
2（b-1）21：
：
:
3-2b，解得;
4
②若一2:
:
:
X1：
：
:
0,则X2-，F:
:
：
-2,g（—2）：
：
:
0,即4a—2b+3v0.
同理可求得b7.
4
17
故当0.■X1:
：
:
2时,b：
：
—,当-2:
:
X：
：
：
0时,b.
44
对你而言，本例解题思维的障碍点在哪里，找找看，如何排除？
下一次遇到同类问题
你会很顺利的克服吗？
我们力求做到学一题会一类，不断提高逻辑推理能力•
例7对于函数f（x），若存在x0•R,使f（x））=x0成立，则称x0为f（x）的不动点。
如
x2+a1
果函数f（x）（b，c・N）有且只有两个不动点0,2，且f（-2）：
：
bx—c2
20—，
1-b
a
20=
.1-b
a*二-anj或a*-an」二-1,以n=1代入（*）得:
2ai二ai-aj,
解得a1=0（舍去）或a1--1，由a1--1，若an--anJ得a2=1,这与an=1矛盾，
.an-an」.二「1，即｛an｝是以-1为首项，-1为公差的等差数列，.ann；
2an-2
盾，故假设不成立，.an<3.
关于本例的第（3）题,我们还可给出直接证法，事实上:
若an1:
:
:
0,则an1:
:
:
0:
:
:
3,结论成立;
若an1-2，此时n一2,从而a.1-a.
a（a.2）
即数列｛an｝在2时单调
22
递减，由a2=2，可知an辽a2=23,在n_2上成立.
33
比较上述两种证法，你能找出其中的异同吗？
数学解题后需要进行必要的反思，学会反思才能长进.
例8设a，b为常数，M=｛f（x）|f（x^acosxbsinx｝;F:
把平面上任意一点
（a,b）映射为函数acosx■bsinx.
（1）证明：
不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：
当f0（x）•M时，f1（xHf0（xtrM，这里t为常数;
（3）对于属于M的一个固定值f0（x），得M1=｛f0（x•t）,t・R｝，在映射F的作用下,
M作为象，求其原象，并说明它是什么图象
讲解：
（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即
F（a,b）二acosxbsinx与F（c,d）=ccosxdsinx相同,
即acosx-bsinx=ccosx-dsinx对一切实数x均成立.
特别令x=0,得a=c；令x=—，得b=d这与（a,b）,（c,d）是两个不同点矛盾，假
2
设不成立•
故不存在两个不同点对应同函数•
（2）当f0（x）・M时，可得常数ao,bo,使
fo（x）二aocosxbosinx,fi（x）=fo（xt）
=a°cos（xt）bosin（xt）=（a°costbosint）cosx（bocost-aosint）sinx,
由于ao,bo,t为常数，设aocostbosint二m,bocost-aosint二n,贝Vm,n是常数.从而fx）二mcosxnsinxM.
（3）设fo（x）M，由此得fo（xt）二mcosxnsinx,其中m=aocostbosint,
n=b0cost-a0sint,在映射F之下，f0（x，t）的原象是（m,n）,贝UM的原象是
{（m,n）|m=aocostbosint,n=bocost-aosint,tR}.
消去t得m2+n2=a^+b［，即在映射F之下，M的原象{（m,n）|m2+n2=a：
+b；}是以原点为圆心，...a?
b；为半径的圆•
本题将集合，映射，函数综合为一体，其典型性和新颖性兼顾，是一道用“活题考死知识”的好题目，具有很强的训练价值•
例9已知函数f（t）满足对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（—2）=—2.
（1）求f
（1）的值；
（2）证明：
对一切大于1的正整数t，恒有f（t）>t;
（3）试求满足f（t）=t的整数t的个数，并说明理由•
讲解
（1）为求f
（1）的值，需令x=y二o,得f（o）=-1.
令x=y1,f（-2）=-2,f（-1）2.
令x=1,-1,.f（o）=f
（1）f（-1）,即f
（1）
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