函数思想在中学数学中的应用_精品文档Word格式.doc
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在变化过程中,有两个变量和.如果给定一个值,相应地就确定了一个值,那么我们称是的函数,其中是自变量,是因变量.
(2)集合说:
给定两个非空数集和,如果按照某个对应关系,对于中任何一个数,在集合中都存在唯一确定的数与之对应,那么就把对应关系叫做定义在上的函数,记作:
或.此时叫做自变量,集合叫做函数的定义域,集合{|}叫作函数的值域,习惯上称是的函数.
(3)映射说:
设,是两个非空数集,是到的一个映射,那么映射:
称为到的函数.
3.函数的本质
函数的本质是一种对应关系,是从一个非空数集到另一个非空数集的一种对应关系.
4.函数的性质
(1)有界性:
如果存在正数,对于函数定义域(或其子集)内的一切值,都有||成立,那么函数叫做在定义域(或其子集)上的有界函数,如果适合这个条件的正数不存在,那么称这个函数是无界的.
(2)单调性:
一般地,对于函数的定义域内的一个子集,如果对于任意的,,当时都有或,就称函数在数集上是增加的或减少的.
(3)奇偶性:
对于函数在定义域内的任意一个值,如果都有成立,那么函数叫做奇函数;
如果都有成立,那么函数叫做偶函数.
(4)周期性:
设是定义在数集上的函数,如果存在常数,对于任意的,都有,且总成立,则函数叫做周期函数,常数称为的周期.
二.利用函数思想解决数列的问题
数列是初等数学与高等数学的重要衔接点之一,由于数列问题的载体能力强,思维跨度大,知识的综合度高,往往能较好的考查学生在知识,方法和能力上的差异,拉开考生之间的距离.特别是在近几年全国各地高考中,数列问题多以压轴题的面目出现,且往往都体现出浓厚的函数背景和思想方法,这就要求我们平时多重视研究数列问题的函数本质.数列是定义在正整数集或其子集上的函数,因此我们应掌握各种基本数列所对应的函数及相关性质,习惯于用函数方法解题是很重要的.下面举两例来看一下:
例1.若数列{}的通项公式为其中,且该数列中最大项为,求的值.
分析:
由于该数列不是直接与等差数列、等比数列相关的数列,形式看起来比较复杂,难以下手.但如果我们能认真观察通项公式的形式特点,不难发现它可以变形为:
,此时若令,则所对应的函数为,.这样由函数的导数易得该函数的极大值点,即可求得该数列中最大项为中的的值.
解:
由已知,得,
令,,
则,且,
则.
令,得,所以该函数在上是单调递增的;
令,得,所以该函数在上是单调递减的.
故为其极大值点,即时该数列取得最大项,所以.
例2.设数列{}的首项为,且……,求此数列到第几项的和最先大于?
由已知,可知数列{}为等差数列,且.
所以该数列通项公式为.
令,得,即
或.
由于,所以满足上述条件的最小正整数为.
故此数列到第项的和最先大于.
注:
此类题是利用等差数列前项和公式
是关于的二次函数来解题的.当时,有最小值;
当时,有最大值.由于取正整数,因而当不是正整数时,的最小值或最大值不等于,此时取最接近于的正整数时,才是的最小值或最大值.值得注意的是接近于的正整数有时是一个,有时有两个.
三.利用函数思想解决不等式的问题
在不等式的有关问题(计算、证明)中,函数的性质常常是有力的工具,利用函数的单调性、奇偶性等性质对题解十分有利,但在这方面往往是学生的缺陷.下面举两例来看一下:
例3.证明不等式.
分析:
此不等式的证明若用一般的方法难以证明,仔细观察不等式的特点,可利用函数
在上的单调增加性质可得,.可对不等式两边采用压缩法和放大法即可证明.
证明:
令,利用函数在上的单调增加性质,
,.
……,
又,
即.
例4.已知实数,其中是自然对数的底,证明.
欲证,只需证,即.由此联想到函数在上若是严格递减的即可证明结论.
证明:
对于函数在上,其导函数.
在上是严格递减的.
对,都有,即.
故,从而.
四.利用函数思想解决最值问题
求最值问题是函数思想的重要应用,此类题综合性强,知识面覆盖广,尤其在实际问题中利用函数思想解决最值问题最为广泛.下面举两例来看一下:
例5.已知,,函数的最大值是,最小值是,求使取得最大值和最小值的值以及和的值.
解:
设,,则.
因为,所以.因此.
故当时,.
又,,所以当时,有最大值,
从而.
所以由,,解得.
综上可得取最小值时,即,所以;
取最大值时,即,所以.
例6、渔场中鱼群的最大养殖量为吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量吨和实际养殖量吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为.(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值)
(1)写出关于的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值;
(3)求鱼群的年增长量达到最大值时,求的取值范围.
解:
(1)由题意,得,即,.
(2).
因为,
所以当时,有最大值.
(3)依题意,得,即.
解得,又,
所以.
五.总结
函数思想是研究问题的重要思想,用函数思想来研究问题是一种重要观念.本文主要通过列举函数思想在数列、不等式、最值问题中的应用,来体会函数思想在中学数学中的应用.当然,函数思想在中学数学中的应用远远不止这些,至于在其他方面的应用还须大家在进一步的学习过程中共同探讨、总结.
参考文献:
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北京师范大学出版社,1999年7月.84-90.
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东北师范大学出版社,2005年6月.100-107.
[3]李晓玲.培养生动活泼的函数思想[J].成材之路,2007年第12期.25-26.
[4]尤泽燕,谢碧华,王孝振.函数对称性的探究[J].福建中学数学(月刊),2007年第3期.33-34.
TheApplicationofFunctionThinkinginMathematics
Name:
JiaLipingStudentNumber:
2003405456
Advisor:
YangShaohua
Abstract:
Thefunctionthinkingisanimportantwaytosolvesomemathematicsproblems.Thisarticlethroughenumeratingtheapplicationoffunctionthinkinginthesequence,theinequalityandthemostvaluequestiontoembodytheroleoffunctionthinkinginmathematics.
Keyword:
functionthinkingsequenceinequalitymostvalue