第12章教材习题解答Word格式.doc
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点电荷q1在C点产生的场强大小为
,方向向下.
点电荷q2在C点产生的场强大小为
,方向向右.
C处的总场强大小为
,
总场强与分场强E2的夹角为.
Ex
x
R
ds
Ey
O
y
12.4半径为R的一段圆弧,圆心角为60°
,一半均匀带正电,另一半均匀带负电,其电线密度分别为+λ和-λ,求圆心处的场强.
在带正电的圆弧上取一弧元ds=Rdθ,电荷元为dq=λds,
在O点产生的场强大小为
,场强的分量为dEx=dEcosθ,dEy=dEsinθ.
对于带负电的圆弧,同样可得在O点的场强的两个分量.由于弧形是对称的,x方向的合场强为零,总场强沿着y轴正方向,大小为
.
12.5均匀带电细棒,棒长a=20cm,电荷线密度为λ=3×
10-8C·
m-1,求:
(1)棒的延长线上与棒的近端d1=8cm处的场强;
(2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2=8cm处的场强.
-L
o
lx
dl
P1
r
L
d1
(1)建立坐标系,其中L=a/2=0.1(m),x=L+d1=0.18(m).
在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq=λdl,根据点电荷的场强公式,电荷元在P1点产生的场强的大小为
场强的方向沿x轴正向.因此P1点的总场强大小通过积分得
----------①
将数值代入公式得P1点的场强为
=2.41×
103(N·
C-1),方向沿着x轴正向.
(2)建立坐标系,y=d2.在细棒上取一线元dl,所带的电量为dq=λdl,在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为,
P2
dEy
dE2
dEx
d2
由于棒是对称的,x方向的合场强为零,y分量为dEy=dE2sinθ.由图可知:
r=d2/sinθ,l=d2cotθ,所以dl=-d2dθ/sin2θ,因此,
总场强大小为
----------②
将数值代入公式得P2点的场强为
=5.27×
C-1).方向沿着y轴正向.
[讨论]
(1)由于L=a/2,x=L+d1,代入①式,化简得
保持d1不变,当a→∞时,可得----------③
这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小.
(2)由②式得
当a→∞时,得----------④
这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式.如果d1=d2,则有大小关系Ey=2E1.
图12.6
12.6一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状,试问θ为何值时,圆心O点处的场强为零.
设电荷线密度为λ,先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强.在圆弧上取一弧元ds=Rdφ,所带的电量为dq=λds,在圆心处产生的场强的大小为
dφ
dE
φ
由于弧是对称的,场强只剩x分量,取x轴方向为正,场强为dEx=-dEcosφ.总场强为
方向沿着x轴正向.
E`
E``
再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强.根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为,由于两根半无限长带电直线对称放置,它们在O点产生的合场强为
,方向沿着x轴负向.
当O点合场强为零时,必有,可得tanθ/2=1,
因此θ/2=π/4,所以θ=π/2.
P
b
a
Q
d
图12.7
12.7一宽为b的无限长均匀带电平面薄板,其电荷密度为σ,如图所示.试求:
(1)平板所在平面内,距薄板边缘为a处的场强.
(2)通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强.
dx
(1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线,电荷的线密度为dλ=σdx,根据直线带电线的场强公式,
得带电直线在P点产生的场强为
,其方向沿x轴正向.
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同,所以总场强为
--------①
场强方向沿x轴正向.
z
(2)为了便于观察,将薄板旋转建立坐标系.仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线,电荷的线密度仍然为dλ=σdx,带电直线在Q点产生的场强为,
沿z轴方向的分量为,
设x=dtanθ,则dx=ddθ/cos2θ,因此
积分得---------②,场强方向沿z轴正向.
[讨论]
(1)薄板单位长度上电荷为λ=σb,①式的场强可化为,
当b→0时,薄板就变成一根直线,应用罗必塔法则或泰勒展开式,场强公式变为
--------③
这正是带电直线的场强公式.
(2)②也可以化为,
,这也是带电直线的场强公式.
当b→∞时,可得---------④
这是无限大带电平面所产生的场强公式.
12.8
(1)点电荷q位于一个边长为a的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少?
(2)如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上,这时通过立方体各面的电通量是多少?
点电荷产生的电通量为Φe=q/ε0.
(1)当点电荷放在中心时,电通量要穿过6个面,通过每一面的电通量为Φ1=Φe/6=q/6ε0.
(2)当点电荷放在一个顶角时,电通量要穿过8个卦限,立方体的3个面在一个卦限中,通过每个面的电通量为Φ1=Φe/24=q/24ε0;
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直,通过每个面的电通量为零.
图12.9
12.9面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板,以平板上的一点O为中心,R为半径作一半球面,如图所示.求通过此半球面的电通量.解:
设想在平板下面补一个半球面,与上面的半球面合成一个球面.球面内包含的电荷为q=πR2σ,
通过球面的电通量为Φe=q/ε0,
通过半球面的电通量为Φ`e=Φe/2=πR2σ/2ε0.
12.10两无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2(R1>
R2),带有等量异号电荷,单位长度的电量为λ和-λ,求
(1)r<
R1;
(2)R1<
r<
R2;
(3)r>
R2处各点的场强.
由于电荷分布具有轴对称性,所以电场分布也具有轴对称性.
(1)在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内没有电荷,所以E=0,(r<
R1).
(2)在两个圆柱之间做一长度为l,半径为r的同轴圆柱形高斯面,高斯面内包含的电荷为q=λl,穿过高斯面的电通量为
根据高斯定理Φe=q/ε0,所以,(R1<
R2).
(3)在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面,由于高斯内电荷的代数和为零,所以E=0,(r>
12.11一厚度为d的均匀带电无限大平板,电荷体密度为ρ,求板内外各点的场强.
方法一:
高斯定理法.
(1)由于平板具有面对称性,因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面:
E=E`.
在板内取一底面积为S,高为2r的圆柱面作为高斯面,场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直,通过高斯面的电通量为
高斯面内的体积为V=2rS,包含的电量为q=ρV=2ρrS,
根据高斯定理Φe=q/ε0,可得场强为E=ρr/ε0,(0≦r≦d/2)--------①
(2)穿过平板作一底面积为S,高为2r的圆柱形高斯面,通过高斯面的电通量仍为Φe=2ES,
高斯面在板内的体积为V=Sd,包含的电量为q=ρV=ρSd,
根据高斯定理Φe=q/ε0,可得场强为E=ρd/2ε0,(r≧d/2)--------②
dy
方法二:
场强叠加法.
(1)由于平板的可视很多薄板叠而成的,以r为界,下面平板产生的场强方向向上,上面平板产生的场强方向向下.在下面板中取一薄层dy,面电荷密度为dσ=ρdy,
产生的场强为dE1=dσ/2ε0,
积分得--------③
同理,上面板产生的场强为---------④
r处的总场强为E=E1-E2=ρr/ε0.
(2)在公式③和④中,令r=d/2,得E2=0、E=E1=ρd/2ε0,
E就是平板表面的场强.
平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果,是均强电场,方向与平板垂直,大小等于平板表面的场强,也能得出②式.
R`
O`
图12.13
12.13一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为R`<
R的小球体,如图所示,试求两球心O与O`处的电场强度,并证明小球空腔内的电场为均强电场.
挖去一块小球体,相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体,因此,空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加.
对于一个半径为R,电荷体密度为ρ的球体来说,当场点P在球内时,过P点作一半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程
,P点场强大小为.
当场点P在球外时,过P点作一半径为r的同心球形高斯面,根据高斯定理可得方程
O点在大球体中心、小球体之外.大球体在O点产生的场强为零,小球在O点产生的场强大小为,方向由O指向O`.
O`点在小球体中心、大球体之内.小球体在O`点产生的场强为零,大球在O点产生的场强大小为,方向也由O指向O`.
[证明]在小球内任一点P,大球和小球产生的场强大小分别为
r`
Er
Er`
,,方向如图所示.
设两场强之间的夹角为θ,合场强的平方为
根据余弦定理得,
所以,
可见:
空腔内任意点的电场是一个常量.还可以证明:
场强的方向沿着O到O`的方向.因此空腔内的电场为匀强电场.
-q
+q
D
图12.14
12.14如图所示,在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷,AB间距离为2R,现将另一正试验电荷q0从O点经过半圆弧路径移到C点,求移动过程中电场力所做的功.
正负电荷在O点的电势的和为零:
UO=0;
在C点产生的电势为,
电场力将正电荷q 0从O移到C所做的功为W=q0UOD=q0(UO-UD)=q0q/6πε0R.
12.15真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B.A平面的电荷面密度为2σ,B平面的电荷面密度为σ,两面间的距离为d.当点电荷q从A面移到B面时,电场力做的功为多少?
两平面产生的电场强度大小分别为EA=2σ/2ε0=σ/ε0,EB=σ/2ε0,两平面在它们之间产生的场强方向相反,因此,总场强大小为E=EA-EB=σ/2ε0,方向由A平面指向B平面.
两平面间