高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题.docx

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高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题

•知识梳理

解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形

结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识•反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准

确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质•学习时应熟练掌握函数与方程的

思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的•

具体来说，有以下三方面：

（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、

不等式的解题思想方法•有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口•

（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识

（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知

识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问

题•在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是"数量”，不仅有大小还有符号•

•点击双基

1.（2005年春季北京，5）设abcz0,“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析：

ac>0_曲线ax2+by2=c为椭圆•

反之成立•

答案：

B

2.到两定点A（0,0）,B（3,4）距离之和为5的点的轨迹是

A.椭圆所在直线

C.线段ABD.无轨迹

解析：

数形结合易知动点的轨迹是线段AB：

y=-x，其中Owx<3.

3

答案：

C

3.若点（x,y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为

x2

B.—1

C.—3D.以上都不对

3

解析：

的几何意义是椭圆上的点与定点（2,0）连线的斜率•显然直线与椭圆相

x2

切时取得最值，设直线y=k（x—2）代入椭圆方程（4+k2）x2—4k2x+4k2—4=0.

2一令A=0,k=±-3.

由0

（1）写出直线l的截距式方程;

1

（2）证明:

11+=—y1y2b

（3）当a=2p时，求/MO的大小.

剖析：

易知直线I的方程为_+2=1，欲证丄+丄J，即求V一竺的值，为此只需

aby1y2by1y?

求直线I与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得yi+y2、屮y的值，进而证得

贝y刚=上,k2=±

X1X2

2

当a=2p时，由

（2）知，y’y2=—2pa=—4p,

2222

由y1=2px1,y2=2px2，相乘得（目旳2=4pxx2,

2

与=1的两条渐近线为I1、I2,过椭圆C的右焦点F作直线I，使I丄I1,又I与

b2

12交于P点，设I与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如下图）

'PL

A

B

（1）当11与I2夹角为60°,双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程;

（2）由FA=入AP，欲求入的最大值，需求AP的坐标，而P是I与li的交点，故需

又b<1,

a

a=、3b.

22又a+b=4,

--a=3,b=1.

1

将A点坐标代入椭圆方程得

（c2+入a2）2+入2a=（1+入）

2222

•••（e+入）+X=e（1+入）

^―2—:

+3w3—22.

2e2

•入的最大值为2—1.

评述：

本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用•解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.

【例3】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=-^，已知点P（0,-）

22

到这个椭圆上的点的最远距离是.7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于.7的

点的坐标.

22.3

剖析：

设椭圆方程为冷+笃=1，由e=!

^知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离

a2b22

转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b,在判定距离有最大值的过程中，要讨论

1

y=-丄是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和

2

P点坐标.

2

解法一：

设所求椭圆的直角坐标方程是笃+

a

2

爲=1,其中a>b>0待定.

b2

22

r2ca

由e==-

a

b2

~2

a

设椭圆上的点

（x,y）到点P的距离为d,

1

即a=2b.

2

2c

y、29

=a（1--）+y-3y+_=

b24

=1-（b）2可知b=

aa

4b2—3y2-3y+9=-3（y+丄）2+4b2+3，其中一b

2

9

+—

4

如果bv1

2

此得b=.7—3>-,

2

则当

y=-b时d（从而d）有最大值，由题设得（.7）2=（b+-）2,由

2

1

与bv-矛盾.

2

2

因此必有b>1成立，于是当y=--时d（从而d）有最大值，由题设得（、.7）2=4b2+3,

2

由此可得b=1,a=2.

2故所求椭圆的直角坐标方程是—+y2=1.

4

1

由y=-丄及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（一

2

点P的距离都是■,7.

解法二：

根据题设条件，设椭圆的参数方程是

x=acos0,

y=bsin0,其中a>b>0待定，0v2n,

••仝

-e=—

2

•°・a=2b.

设椭圆上的点（

223

d2=x2+（y-2

1

如果丄>1,即卩2b

X,

y）到点P的距离为d,贝U

3221

0+（bsin0）=-3b•（sin0+—）

b

222

=acos

2+4b2+3.

bV2，

则当sin0=-1时，d（从而d）有最大值,

由题设得（7）2

（b+3）2，由此得b=.7—

2

->1，与bv-矛盾.

222

1

因此必有丄

2b

w1成立，于是当sin0=—2-时，d（从而⑴有最大值，由题设得（7）

22

=4b+3.

由此得b=1,a=2.所以椭圆参数方程

消去参数得—+y2=1，由sin0=」

42

x=2cos0,

y=sin0.

cos0=±—知椭圆上的点（一"3,——）（y3,

22

—1）到P点的距离都是.7.

2

评述：

本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论深化拓展

根据图形的几何性质，以P为圆心，以.7为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的

距离为7，此时的椭圆和切点即为所求•读者不妨一试•

厂2/3、27

x+（y——）=7,

2x2+4y2=4b2,

292

得3y+3y—=4b—乙

4

由A=0得b2=1,

即椭圆方程为

所求点为（—

22

x+4y=4.

AA

v'3，—-）、（,—-）

22

•闯关训练

夯实基础

1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为

A尿72

ABCD勺相对顶点

AC为焦点的椭圆，恰

3

cd

2

B.

D.

、51

3

、10.2

解析：

建立坐标系，设出椭圆方程,

由条件求出椭圆方程，可得

答案：

D

3.（2005年启东市第二次调研）设Pi（J2,<2）、P2（-42，—J2）,M是双曲线

1

y=_上位于第一象限的点，对于命题①|MP-|MP|=2、、2:

②以线段MP为直径的圆与圆

x

x+y2=2相切；③存在常数b,使得M到直线y=—x+b的距离等于—|Mf?

|.其中所有正确命

2

题的序号是.

解析：

由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MR|可

知正确.

答案：

①②③

4.（2004年全国H,15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2—2y2=1有公共的焦点，且

解析：

双曲线中，冷尹,

它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是.

F（±1,0）,e=£=J2.椭圆的焦点为（土1,0）,

a

离心率为-—.•长半轴长为.2，短半轴长为1.

2

2•方程为—+y2=1.

2

2

答案：

+y2=1

2

5.

（1）试讨论方程（1—k）x2+（3—k2）y2=4（k€R）所表示的曲线;

解：

（1）3—k2>1—k>0k€（—1,1）,方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆;

1—k>3—k>0k€（—,—1）,方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1—k=3—

k2>0k=—1,表示的是一个圆；（1—k）（3—k2）<0k€（—^,—,3）U（1,、、3）,

表示的是双曲线；k=1,k=—.3,表示的是两条平行直线；k=.3,表示的图形不存在

（2）由（k2+k—6）（6k2—k—1）<0（k+3）（k—2）（3k+1）（2k—1）<0k€（—3,

11

）U（—,2）.

32

6.

2222

tI0A=|OEB,•••xi+yi=X2+y2.

又•••yj=2pxi,y22=2px2,

22

•X2—xi+2p（X2-Xi）=0,

即（X2—xi）（xi+X2+2p）=0.

又tXi、X2与p同号，•Xi+X2+2pz0.

•X2—Xi=0,即卩Xi=X2.

由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称•

（2）解：

由（i）知/AO）=30°,贝U

广2广

y=2px,x=6p,

”y=^x\y=2j3p.

J3k

•A（6p,2,3p）.

方法一：

待定系数法，△AOB外接圆过原点0,且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.

将点A（6p,2,3p）代入，得d=—8p.

故厶AOB7卜接圆方程为x2+y2—8px=0.

方法二：

直接求圆心、半径，设半径为r,则圆心（r,0）.

培养能力

7.（理）（2004年北京，i7）如下图，过抛物线y2=2px（p>0）上一定点P（X0,yo）

（yo>0）,作两条直线分别交抛物线于A（xi,yi）、B（X2,y2）.

（i）求该抛物线上纵坐标为—的点到其焦点F的距离;

2

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求-yi一y2的值，并证明直线AB的斜率

y。

是非零常数.

解：

（i）当y=P时，x=E.

28

又抛物线y2=2px的准线方程为