寒假综合检测讲义Word文档格式.docx
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即面积的最大值为,此时是边长为2的正三角形.
【练习1】【2018年闵行区一模】
(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)
已知函数(其中).
(1)若函数的最小正周期为,求的值,并求函数的单调递增区间;
(2)若,,且,求的值
(1).
由函数的周期,解得.………………3分
∴,由得
………………6分
的单调递增区间().………………7分
(2)∵得………………9分
又∵,,………………11分
∴即.………………14分
【2】【解析几何专题】
【例2】【2018年浦东新区一模】
(本题满16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
已知椭圆的左、右焦点分别为;
设点,在中,
,周长为.
(1)求椭圆方程;
(2)设不经过点的直线与椭圆相交于两点.若直线与的
斜率之和为,求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标;
(3)记第
(2)问所求的定点为,点为椭圆上一个动点,试根据面积的不同取值范围,
讨论存在的个数,并说明理由.
(1)由得:
,所以………①
又周长为,所以………②
解①②方程组,得所以椭圆方程为………………………4分
(2)设直线方程:
,交点
………………………1分
…………………………1分
………………………………………1分
依题:
即:
…………………………1分
………1分
过定点…………………………………………1分
(3),………………………1分
设直线与椭圆相切,
……………………1分
得两切线到的距离分别为
………1分
当时,个数为0个当时,个数为1个
当时,个数为2个当时,个数为3个
当时,个数为4个……………………3分
【练习2】【2018年徐汇区一模】
(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)
已知椭圆()的左、右焦点分别为、,且、与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形,点在椭圆上,过点作互相垂直且与轴不重合的两直线、分别交椭圆于、、、,且、分别是弦、的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求证:
直线过定点;
(3)求面积的最大值.
【解】
(1)因为是等腰直角三角形,所以,则,把点代入椭圆方程,得,,故椭圆的标准方程为-------------4分
(2)设直线的方程为,
不妨设,点、
由,得,
则,,则------------------7分
解法一、
所以,故直线恒过定点.----------------------------------10分
解法二、同理,可得,
所以直线的方程为
即,故直线恒过定点.10分
(3),同理
面积=,设,
,当且仅当即时,面积取最大值.16分
【3】【数列专题】
【例3】【2018年杨浦区一模】
(本题满分18分,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分)
若数列:
,,…,()中()且对任意的,
恒成立,则称数列为“数列”.
(1)若数列,,,为“数列”,写出所有可能的,;
(2)若“数列”:
,,…,中,,,求的最大值;
(3)设为给定的偶数,对所有可能的“数列”:
,,…,,记,其中表示,,…,这个数中最大的数,求的最小值.
(1)x=1时,,所以y=2或3;
x=2时,,所以y=4;
时,无整数解。
所以所有可能的x,y为,或 ……3分
(2)的最大值为,理由如下 ……4分
一方面,注意到:
对任意的,令,则且(),
故对任意的恒成立. (★)
当,时,注意到,
得()
即,此时
(★★)
即,解得:
,故……7分
另一方面,为使(**)取到等号,所以取(),
则对任意的,,故数列为“数列”,
此时由(★★)式得,
所以,即符合题意.
综上,的最大值为65. ………9分
(3)的最小值为,证明如下:
………10分
当(,)时,
一方面:
由(★)式,,
.此时有:
即,故
因为,所以…………15分
另一方面,当,,…,,,,
时,
取,则,,,
且,
此时.
综上,的最小值为. ……18分
【练习3】【2018年黄浦区一模】
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
定义运算“”:
对于任意,()(等式的右边是通常的加减乘运算).
若数列的前项和为,且对任意都成立.
(1)求的值,并推导出用表示的解析式;
(2)若,令,证明数列是等差数列;
(3)若,令,数列满足,求正实数的取值范围.
解
(1),,,.令,得,∴.
当时,有.∴.
∴.
证明
(2),,,∴,.
∴.∴数列是以首项为、公差为的等差数列.
解(3)结合
(1),且,,,∴,即.
. 当时,,此时,,总是满足;
当时,,此时,是等比数列.
∴.∴.
若时,数列是单调递增数列,且时,,不满足.
若时,,数列是单调递减数列,故.
又,同样恒有成立;
若时,,数列是单调递增数列,.
由,即此时当时,满足.
综上,所求实数的取值范围是.
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