一道可用拉格朗日乘数法求最值的题_精品文档Word格式文档下载.doc

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从而有；

再令，，其中确保同时取非负数；

则有，；

所以

即；

当时，取最小值，即取最小值；

检验：

当时，，矛盾；

不适合；

故此路不通．

法二：

与法一相同：

从而有，（*）其中有：

，；

它的图象是圆的一部分；

又设；

于是有，（**）

下面利用数形结合方法求最小值：

画出图象如下：

方程（*）的图象在第一象限，包括在坐标轴上点；

方程（**）是以原点为圆心，向外扩张的圆；

当它扩张到与第一个图象有第一个公共点时，

恰好在坐标轴上的点，而A为，（B为）；

所以有即；

故的最小值是．

同时，可知最大值为：

．

数缺形时少直观，形缺数时难入微．此法数形结合，一目了然．

法三：

拉格朗日乘数法．（拉格朗日是法国的超一流的数学家，有空时百度一下看其事迹。

）

首先举例说明一下如何使用新方法．

设长4m的绳子围成长为x，宽为y的矩形，矩形最大面积为多少？

步骤：

1．相关条件：

x、y永远满足：

，令，即恒成立；

2．目标函数：

所求的最大式子：

；

3．构造拉格朗日函数：

4．求偏导数：

（代表函数偏求导数，具体求导方法是视为变量，为常数即可）

一元函数中，有极值点，在这里，同样满足：

再联立解出最大的（因为此题有最大值，无最小值，解出的答案即可取，否则

需要讨论）

解：

由题意可得：

与联立，解得，由于只存在最大值，

所以最大面积：

回到本题中．

由题可得：

即有，；

此时，

与联立，

可得：

解得：

，舍负，取；

所以；

结合“法二”，发现求出来的是“最大值”！

！

Why？

？

道理很简单：

多元求导数，最值是在“驻点”处取得，何为“驻点”者，有导数且为零也！

可见：

用拉格朗日乘数法，所求得的是“驻点”处的最值．由法二的图象可知：

最小值是在

端点处取得的，而端点处是不可导的，故无法实施拉格朗日乘数法，此意义一定要弄明白，

不能乱用方法诶．

综合上述，本题解法二，是可能的方法，答案也就明确了．

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