立体几何中用传统法求空间角Word格式文档下载.doc
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2、三垂线法找二面角的平面角.
例一:
如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是______90______.
考向二线面角
例二、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.
(I)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(II)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(III)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
练习:
如图,在三棱锥中,底面,
点,分别在棱上,且
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的正弦值;
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴,
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,,
考向三:
二面角问题
在图中做出下面例题中二面角
例三:
.定义法(2011广东理18)
如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,
且∠DAB=60,,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明:
AD平面DEF;
(2)求二面角P-AD-B的余弦值.
法一:
(1)证明:
取AD中点G,连接PG,BG,BD。
因PA=PD,有,在中,,有为等边三角形,因此,所以平面PBG
又PB//EF,得,而DE//GB得ADDE,又,所以AD平面DEF。
(2),
为二面角P—AD—B的平面角,
在
法二:
(1)取AD中点为G,因为
又为等边三角形,因此,,从而平面PBG。
延长BG到O且使得POOB,又平面PBG,POAD,
所以PO平面ABCD。
以O为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB,OP分别为轴,z轴,平行于AD的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系。
设
由于
得
平面DEF。
(2)
取平面ABD的法向量
设平面PAD的法向量
由
取
2、三垂线定理法
例四.(广东省惠州市2013届高三第三次调研理)(本小题满分14分)如图,在长方体中,,,点在棱上移动.
;
(2)当点为的中点时,求点到平面的距离;
(3)等于何值时,二面角的大小为?
18.(本小题满分14分)
如图,连接,依题意有:
在长方形中,,
.………4分
∴点到平面的距离为.…………………………………………………8分
(3)解:
过作交于,连接.由三垂线定理可知,为二面角的平面角.
∴,,.………………………10分,∴.……………………12分
∴,.
故时,二面角的平面角为.……………………………14分
练习.如图,在四面体中,,且,二面角大小为.
(1)求证:
平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17.解:
(1)在四面体中,取中点分别为
,连接,则
则
又则
中,,
可知
又面,则
和两相交直线及均垂直,从而面
又面经过直线,故面面…………………………(6分)
(2)由
(1)可知平面平面
过向作垂线于足,从而面
过中,,则
于是与平面所成角即
因此直线与平面所成角的正弦值为.…………………………(12分)
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