概率论与数理统计试题及答案+考前必备公式大全Word下载.doc

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样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。

例6：

样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：

，完成了一个从样本到总体的推断过程。

二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个）

1、概率

（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。

例7：

5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？

（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。

例8：

玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。

一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；

若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。

例9：

抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？

例10：

1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？

（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。

例11：

5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？

例12：

5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？

（5）“先后放回取”是“二项分布”。

例13：

5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？

（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。

例14：

设X的分布函数F（x）是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。

（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。

，。

（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。

例15：

设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度。

（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。

例16：

设随机变量（X，Y）的分布密度为试求U=X-Y的分布密度。

（10）均匀分布用“几何概型”计算。

例17：

设随机变量（X，Y）的分布密度为：

，试求P（X+Y>

1）。

（11）关于独立性：

对于离散型随机变量，有零不独立；

对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。

（12）二维随机变量的期望E（X）、E（Y）和方差D（X）、D（Y），由边缘分布来求。

例19：

设，为两个随机事件,且,,,令

求（Ⅰ）二维随机变量的概率分布;

（Ⅱ）与的相关系数;

（Ⅲ）的概率分布.

（13）相关系数中的E（XY），对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；

对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。

例20：

连续型随机变量：

E（XY）＝

（14）应用题：

设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E（Y）。

例21：

市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？

（15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。

2、统计

（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。

连续型：

离散型：

例22：

设总体X的概率分别为

其中θ（0<

θ<

）是未知参数，利用总体X的如下样本值：

3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值。

（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。

（3）例23：

设是总体的一个样本，试证

（1）

（2）

（3）都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。

（3）标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，、分布取面积对称的分位数。

三、选择题常考的5个混淆概念

1、乘法公式和条件概率例24：

100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？

已知取了一个男生，是棕色头发的概率？

2、独立和互斥设A≠ø

B≠ø

，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。

例25：

对于任意二事件A和B，

若AB=Φ，则A，B一定不独立.若AB=Φ，则A，B一定独立。

若AB≠Φ，则A，B一定独立。

（D）若AB≠Φ，则A，B有可能独立。

3、独立和不相关独立是不相关的充分条件。

（X,Y）为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。

4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；

也不能推出X+Y为一维正态分布。

例26：

已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设

（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；

（2）求X与Z的相关系数；

（3）问X与Z是否相互独立？

为什么？

例27：

设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则

（A）X与Y一定独立。

（B）（X，Y）服从二维正态分布。

（C）X与Y未必独立。

（D）X+Y服从一维正态分布。

5、几个大数定律的区别切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。

例28：

设{X1,X2,……Xn，……}是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2,……），则随机变量序列{X1,22X2,……n2Xn，……}：

（A）服从切比雪夫大数定律。

（B）服从辛钦大数定律。

（C）同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。

（D）既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。

四、解答题常考的6个题型

1、全概和贝叶斯公式例29：

在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求该电子元件损坏的概率α；

该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。

表中Φ（x）是标准正态分布函数。

2、二项分布例30：

设测量误差X~N（0，102）。

试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。

[附表]：

3、二维随机变量例31：

设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y

X0 1

0 0.4 a

1 b 0.1

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则 A、a=0.2,b=0.3 B、a=0.1,b= C、a=0.3,b=0.2 D、a=0.4,b=0.1

例32：

设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求（Ⅰ）随机变量和的联合概率密度；

（Ⅱ）的概率密度；

（Ⅲ）概率．

4、数字特征

例33：

一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。

设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。

例34：

今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求

（1）（X，Y）的联合分布；

（2）X与Y是否独立；

（3）令U=max（X,Y）,V=min（X,Y），求E（U）和E（V）。

例35：

设为独立同分布的随机变量，且均服从N（0，1）。

记

求：

（I） （II）（III）

5、应用题

例36：

设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。

销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。

已知销售利润T（单元：

元）与销售零件的内径X有如下关系。

，问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

6、最大似然估计

例37：

设随机变量的分布函数为，其中参数.设为来自总体的简单随机样本，（Ⅰ）当时,求未知参数的矩估计量；

（Ⅱ）当时,求未知参数的最大似然估计量；

Ⅲ）当时,求未知参数的最大似然估计量。

五、考试的2个技巧

1、填空题和选择题的答题技巧例38：

设随机变量独立同分布，则行列式

，的数学期望＝ 。

例39：

将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：

={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}

={正面出现两次}，则事件（A）相互独立。

（B）相互独立。

（C）两两独立。

（D）两两独立。

自测题（第一章）一、选择题（毎小题3分,共15分）：

1.在某学校学生中任选一名学生，设事件表示“选出的学生是男生”，表示“选出的学生是三年级学生”，表示“选出的学生是篮球运动员”，则的含义是（　　　）.

（A）选出的学生是三年级男生；

（B）选出的学生是三年级男子篮球运动员；

（C）选出的学生是男子篮球运动员；

（D）选出的学生是三年级篮球运动员；

2.在随机事件中，和两事件至少有一个发生而事件不发生的随机事件可表示为（　　　）.

（A） （B）（C） （D）

3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设为甲胜，为乙胜，则甲胜乙输的概率为（ ）.

（A）（B） （C） （D）0.6

4．下列正确的是（ ）.（A）若，则 （B）若，则

（C）若，则（D）若10次试验中发生了2次，则

5．设、互为对立事件，且，则下列各式中错误的是（ ）.

（A）（B）（C） （D）

解：

1.由交集的定义可知，应选（B）2.由事件间的关系及运算知，可选（A）

3.基本事件总数为，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为=5，故P（A）=，故应选（D）。

4.由题可知A1、A2互斥，又0<

P（B）<

1，0<

P（A1）<

P（A2）<

1，所以P（A1B∪A2B）=P（A1B）+P（A2B）–P（A1A2B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）

故应选（C）。

5.因为A、B互为对立事件，所以P（A+B）=1，P（AB）=0，又P（A），P（B）>

0，所以=A，因而P（|A）=P（A|A）=1，故选（A）

二、填空题（毎小题3分,共15分）：

1．、、代表三件事，事件“、、至少有二个发生”可表示为．

2．已知，则=．

3．、二个事件互不相容，，则．

4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为．

5．设、、两两相互独立，满足，且已知，则．

1.AB+BC+AC2.∵A、B相互独立，∴P（AB）=P（A）P（B）∴P（A∪B）=P（A）+P（B