中考数学一轮复习基础考点及题型专题圆(含解析)文档格式.docx
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弦心距、半径、弦长的关系:
(考点)
圆心角概念:
顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角概念:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
三角形的外接圆
1)经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
2)三角形外心的性质:
①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等;
②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
3)锐角三角形外接圆的圆心在它的内部(如图1);
直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半,如图2);
钝角三角形外接圆的圆心在它的外部(如图3).
圆内接四边形概念:
如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形。
弓形与扇形
弓形的概念:
由弦及其所对的弧组成的图形。
扇形的概念:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
【典型例题】
1.(2018·
陆丰市民声学校中考模拟)如图,AB是⊙O直径,点C,D在⊙O上,OD∥AC,下列结论错误的是()
A.∠BOD=∠BAC B.∠BAD=∠CAD
C.∠C=∠D D.∠BOD=∠COD
【答案】C
【详解】∵OD//AC,
∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD,故A选项正确,
∵OA=OD,
∴∠D=∠BAD,∴∠BAD=∠CAD,故B选项正确,
∵OA=OC,∴∠BAD=∠C,∴∠BOD=∠COD,故D选项正确,
由已知条件无法得出∠C=∠D,故C选项错误,
故选C.
2.(2018·
北京中考模拟)有下列四种说法:
①半径确定了,圆就确定了;
②直径是弦;
③弦是直径;
④半圆是弧,但弧不一定是半圆.其中,错误的说法有( )
A.1种B.2种C.3种D.4种
【答案】B
【详解】
圆确定的条件是确定圆心与半径,是假命题,故此说法错误;
直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确;
弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误;
④半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.
其中错误说法的是①③两个.
故选:
B.
3.(2018·
上海中考模拟)下列说法中,正确的个数共有( )
(1)一个三角形只有一个外接圆;
(2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;
(3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等;
(4)三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等;
A.1个B.2个C.3个D.4个
(1)一个三角形只有一个外接圆,正确;
(2)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,正确;
(3)在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确;
(4)三角形的内心是三个内角平分线的交点,到三边的距离相等,错误;
C.
4.(2018·
湖北中考模拟)有下列说法:
①等弧的长度相等;
②直径是圆中最长的弦;
③相等的圆心角对的弧相等;
④圆中90°
角所对的弦是直径;
⑤同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有( )
【解析】试题解析:
同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫等弧,所以长度相等,故正确;
连接圆上任意两点的线段叫做弦,所以直径是最长的弦,故正确;
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,故错误;
圆中90°
圆周角所对的弦是直径,故错误;
弦所对的圆周角可在圆心一侧,也可在另一侧,这两个圆周角互补,但不一定相等,所以同圆中等弦所对的圆周角也不一定相等,故错误.
综上所述,正确的结论有2个,故应选B.
5.(2017·
广东中考模拟)如图,在⊙O中,AB为直径,CD为弦,已知∠ACD=40°
,则∠BAD的度数为()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解:
∵在⊙O中,AB为直径,
∴∠ADB=90°
,
∵∠B=∠ACD=40°
∴∠BAD=90°
﹣∠B=50°
.
故选D.
【考查题型汇总】
考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算
1.(2019·
浙江省杭州第七中学中考模拟)如图,A、C、B是⊙O上三点,若∠AOC=40°
,则∠ABC的度数是().
A.10°
B.20°
C.40°
D.80°
根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,故选B
黑龙江中考模拟)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠AOC=140°
,则∠B的度数是( )
A.70°
B.80°
C.110°
D.140°
详解:
作AC对的圆周角∠APC,如图,
∵∠P=12∠AOC=12×
140°
=70°
∵∠P+∠B=180°
∴∠B=180°
﹣70°
=110°
3.(2019·
四川省平昌中学中考模拟)如图,在⊙O中,直径CD⊥弦AB,则下列结论中正确的是
A.AC=AB B.∠C=12∠BOD C.∠C=∠B D.∠A=∠BOD
∵直径CD⊥弦AB,
∴弧AD=弧BD,
∴∠C=12∠BOD.
故选B.
贵州中考模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠B=60°
,⊙O的半径为4,则AC的长等于( )
A.43 B.63 C.23 D.8
【答案】A
试题解析:
连接OA,OC,过点O作OD⊥AC于点D,
∵∠AOC=2∠B,且∠AOD=∠COD=12∠AOC,
∴∠COD=∠B=60°
;
在Rt△COD中,OC=4,∠COD=60°
∴CD=32OC=23,
∴AC=2CD=43.
故选A.
5.(2019·
云南中考模拟)如图,已知:
在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°
,则∠ADC的度数为( )
B.45°
C.35°
D.30°
∵OA⊥BC,∠AOB=70°
∴=AC,
∴∠ADC=12∠AOB=35°
故选C.
6.(2019·
广西中考模拟)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点(A、B除外),∠AOD=136°
,则∠C的度数是()
A.44°
B.22°
C.46°
D.36°
∵∠AOD=136°
,∴∠BOD=44°
,∴∠C=22°
,故选:
考查题型二圆心角与圆周角的关系解题
武汉市第四十六中学中考模拟)如图,BE是⊙O的直径,半径OA⊥弦BC,点D为垂足,连AE、EC.
(1)若∠AEC=28°
,求∠AOB的度数;
(2)若∠BEA=∠B,EC=3,求⊙O的半径.
【答案】
(1)56∘.
(2)3.
1连接OC.
∵半径OA⊥弦BC,
∴AC=AB,
∴∠AOC=∠AOB,
∵∠AOC=2∠AEC=56∘,
∴∠AOB=56∘.
2∵BE是⊙O的直径,
∴∠ECB=90∘,
∵AC=AB
∴∠AEC=∠BEA,
∵∠BEA=∠B,
∴∠B=∠AEB=∠AEC
∵∠B+∠AEB+∠AEC=180∘,
∴∠B=∠AEB=∠AEC=30∘,
∵EC=3,
∴EB=2EC=6,
∴⊙O的半径为3.
吉林中考模拟)如图,AB是⊙O的直径,点C是AB延长线上的点,CD与⊙O相切于点D,连结BD、AD.
(1)求证;
∠BDC=∠A.
(2)若∠C=45°
,⊙O的半径为1,直接写出AC的长.
(1)详见解析;
(2)1+2
(1)证明:
连结OD.如图,
∵CD与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CD,
∴∠2+∠BDC=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
,即∠1+∠2=90°
∴∠1=∠BDC,
∵OA=OD,
∴∠1=∠A,
∴∠BDC=∠A;
(2)解:
在Rt△ODC中,∵∠C=45°
∴OC=2OD=2∴AC=OA+OC=1+2
苏州高新区实验初级中学中考模拟)已知:
如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为点E,如果∠BAD=30°
,且BE=2,求弦CD的长.
【答案】43
连接OD,设⊙O的半径为r,则OE=r﹣2,
∵∠BAD=30°
∴∠DOE=60°
∵CD⊥AB,
∴CD=2DE,∠ODE=30°
∴OD=2OE,即r=2(r﹣2),解得r=4;
∴OE=4﹣2=2,
∴DE=OD2-OE2=42-22=23,
∴CD=2DE=43.
知识点二圆的基本性质
n对称性
1.圆是轴对称图形,对称轴是直径所在的直线
2.圆是中心对称图形。
n垂径定理
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
常见辅助线做法(考点):
1)过圆心,作垂线,连半径,造RT△,用勾股,求长度;
2)有弧中点,连中点和圆心,得垂直平分.
n圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等
n圆周角定理(考点)
圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1:
在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.
推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°
的圆周角所对的弦是直径.
(在同圆中,半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角)
n圆内接四边形
性质:
圆内接四边形的对角互补,一个外角等于其内对角.
考查题型三运用垂径定理进行相关计算
苏州高新区第四中学校中考模拟)如图,等腰△ABC内接于半径为5的⊙O,AB=AC,tan∠ABC=13.求BC的长.
【答案】BC=6.
连接AO,交BC于点E,连接B