8年级上册数学培优讲义北师版(格式完整-)Word格式文档下载.docx

8年级上册数学培优讲义北师版(格式完整-)Word格式文档下载.docx

《8年级上册数学培优讲义北师版(格式完整-)Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8年级上册数学培优讲义北师版(格式完整-)Word格式文档下载.docx（127页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题17二元一次方程（组）的概念 96

专题18二元一次方程组的实际问题 103

专题19数据的分析 109

专题20平行线的证明 117

专题一勾股定理的基本应用

考点一求线段的长

【方法点拨】①勾股定理常用来求直角边或斜边；

②勾股定理是求线段长度的最主要方法，若缺少直角条件，可以通过作垂线的方法构造直角三角形；

③若不能直接用勾股定理求出直角三角形的边，一般设未知数，建立方程求解。

1．等腰三角形的底边长为12，底边上的中线长为8，它的腰长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．32

2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（　　）

A．322 B．3105 C．355 D．455

3．Rt△ABC中，斜边BC＝22，则AB2+AC2+BC2的值为（　　）

A．16 B．8 C．8 D．无法计算

4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：

①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

5．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（　　）

A．.1 B．.2 C．3 D．.2

6．若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　）

A．5 B．10 C．125 D．245

7．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　　．

8．在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为　　．

9．已知a，b是Rt△ABC两边，且满足a2-9=-（b﹣4）2，则第三边长是　　．

10．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，求DE的长．

11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°

，AB＝BC．

（1）当AD＝7，CD＝5时，求BC的长；

（2）当AD=13，BC=2时，求BD的长．

考点二求面积

【方法点拨】①勾股定理间接反映了三个图形面积之间的关系，可利用勾股定理求三角形、四边形、扇形、弓形的面积；

②用勾股定理求直角三角形面积时，可将看作一个整体，而不必求出的值，利用，再结合等类似完全平方式的变形等式解决实际问题。

1．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194

2．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°

，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（　　）

A．90 B．100 C．110 D．121

3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．64

4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　．

5．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3＝　　．

6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，正方形A的面积为9cm2，则正方形A，B，C，D面积之和为　　cm2．

7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

考点三解直角三角形

【方法点拨】①已知两边和两边的夹角为一个特殊角时，可求第三边；

②已知两个特殊角和两个特殊角的夹边，可求另外两边；

③在直角三角形中，已知两边，可直接用勾股定理求第三边；

④不能求第三边时，应先设未知数，再用勾股定理；

⑤如果上述方法行不通时，应通过转化把条件集中在同一个三角形中再利用勾股定理。

1．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，AB=26，BC+CA＝8，则△ABC的面积为　　．

2．善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A，B，D在同一直线上，且EF∥AD，∠BAC＝∠EDF＝90°

，∠C＝45°

，∠E＝60°

，量得DE＝12cm，求BD的长．

考点四利用勾股定理证明平方关系

【方法点拨】通过直接寻找直角三角形或作垂线构造直角三角形解决问题。

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m＝AP2+BP•PC的值为　　；

若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，且mi＝APi2+BPi•PiC（i＝1，2，…，100），则m＝m1+m2+…+m100的值为　　．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：

AB2﹣AP2＝PB•PC．

3．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图

（1）所示）时，易证得结论：

PA2+PC2＝PB2+PD2，请你探究：

当点P分别在图

（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？

请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图

（2）证明你的结论．

专题二勾股定理逆定理的应用

考点一勾股数的应用

【方法点拨】①熟记常见的勾股数“3,4,5”“6,8,10”“5,12,13”“8,15,17”“7,24,25”“9,40,41”；

②勾股数的整数倍仍然是勾股数，分数倍数仍然符合的关系；

③构造勾股数的重要方法:

是大于1的奇数，则，，是勾股数；

是大于2的偶数，则，，是勾股数。

1．在下列各组数中，是勾股数的是（　　）

A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）若a：

b＝3：

4，c＝75cm，求a、b；

（2）若a：

c＝15：

17，b＝24，求△ABC的面积；

（3）若c﹣a＝4，b＝16，求a、c；

（4）若∠A＝30°

，c＝24，求c边上的高hc；

（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．

【方法点拨】通过比较三角形最长边的平方与另两边的平方和，可以判断三角形的形状，反过来也对，即可以运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，在下列条件中：

①a＝5、b＝12、c＝13；

②∠A：

∠B：

∠C＝3：

4：

5；

③∠A﹣∠B＝∠C；

④a=13、b=14、c=15；

⑤（b+c）（b﹣c）＝a2，能判断△ABC是直角三角形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．已知三组数据：

①2，3，4；

②3，4，5；

③1，3，2，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

3．△ABC的三边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　）

A．c2﹣a2＝b2 B．∠A﹣∠C＝∠B

C．a：

b：

c＝20：

21：

29 D．∠A：

∠C＝2：

3：

4

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四种说法：

①a•b＝c•h；

②a+b＜c+h；

③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；

④1a2+1b2=1h2．其中正确的有（　　）

5．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（　　）

A．3，4，5 B．4，5，6 C．34，54，1 D．9，12，15

6．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状并说明理由．

7．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？

请说明理由．

8．阅读下列解题过程：

已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：

∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①

∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），②

∴c2＝a2+b2，③

∴△ABC为直角三角形．④

回答下列问题：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？

该步的序号为：

　　；

（2）错误的原因为：

（3）请你将正确的解答过程写下来．

专题三勾股定理中的翻折和旋转问题

考点一翻折问题

【方法点拨】根据翻折前后两图形全等，借助勾股定理构造方程求线段的长。

1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm

2．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；

再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD的长BC与宽AB的关系是（　　）

A．BC＝2AB B．BC=3AB C．BC＝1.5AB D．BC=2AB

3．长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上的点F处，则AE的长为　　．

4．如图，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，点B的对应点是点B′，B′C与AD交于点E．若AB＝2，BC＝4，则AE的长是　　．

5．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为　　．

6．如图，D在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF长的最小值为　　．

7．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．

（1）若∠1＝50°

，求∠2、∠3的度数；

（2）若AD＝8，AB＝4，求BF．

8．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E在线段AB上．点F在线段AD上

（1）