高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.2第1课时对数函数的图象及性质学案新人教A版必修1Word格式文档下载.doc

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0可得x>

－1，所以函数的定义域为（－1，＋∞），所以（3）错．

知识点2　对数函数的图象和性质

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域

（0，＋∞）

值域

R

过定点

过定点（1,0），即x＝1时，y＝0

函数值

的变化

当0＜x＜1时，y＜0

当x＞1时，y＞0

当0＜x＜1时，y＞0

当x＞1时，y＜0

单调性

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

【预习评价】

（1）函数f（x）＝loga（2x－1）＋2的图象恒过定点________．

（2）若函数y＝log（2a－3）x在（0，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．

解析　

（1）令2x－1＝1，得x＝1，又f

（1）＝2，故f（x）的图象恒过定点（1,2）．

（2）由题意2a－3>

1，得a>

2，即a的取值范围是（2，＋∞）．

答案　

（1）（1,2）　

（2）（2，＋∞）

知识点3　反函数

对数函数y＝logax（a>

0，且a≠1）与指数函数y＝ax（a>

0，且a≠1）互为反函数．

设函数f（x）＝2x的反函数为g（x），若g（2x－3）>

0，则x的取值范围是________．

解析　易知f（x）＝2x的反函数为y＝log2x，即g（x）＝log2x，g（2x－3）＝log2（2x－3）>

0，所以2x－3>

1，解得x>

2.

答案　（2，＋∞）

题型一　对数函数的概念及应用

【例1】　

（1）下列函数表达式中，是对数函数的有（　　）

①y＝logx2；

②y＝logax（a∈R）；

③y＝log8x；

④y＝lnx；

⑤y＝logx（x＋2）；

⑥y＝2log4x；

⑦y＝log2（x＋1）．

A．1个　　　 B．2个 C．3个　　 D．4个

（2）若对数函数f（x）的图象过点（4，－2），则f（8）＝________.

解析　

（1）由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；

由于②中底数a∈R不能保证a>

0，且a≠1，

∴②不是对数函数；

由于⑤⑦的真数分别为（x＋2），（x＋1），∴⑤⑦也不是对数函数；

由于⑥中log4x的系数为2，

∴⑥也不是对数函数；

只有③④符合对数函数的定义．

（2）由题意设f（x）＝logax（a>

0且a≠1），则f（4）＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，

f（x）＝x，所以f（8）＝8＝－3.

答案　

（1）B　

（2）－3

规律方法　判断一个函数是对数函数的方法

【训练1】　若函数f（x）＝log（a＋1）x＋（a2－2a－8）是对数函数，则a＝________.

解析　由题意可知解得a＝4.

答案　4

题型二　对数型函数的定义域

【例2】　

（1）函数f（x）＝＋ln（x＋1）的定义域为________．

（2）函数f（x）＝的定义域为________．

解析　

（1）若使函数式有意义需满足条件：

⇒取交集可得：

x∈（－1,2），故函数的定义域为（－1,2）．

（2）由题意有解得x>

－且x≠0，则f（x）的定义域为∪（0，＋∞）．

答案　

（1）（－1,2）　

（2）∪（0，＋∞）

规律方法　求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则

（1）分母不能为0.

（2）根指数为偶数时，被开方数非负．

（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

【训练2】　求下列函数的定义域：

（1）f（x）＝lg（x－2）＋；

（2）f（x）＝log（x＋1）（16－4x）．

解　

（1）要使函数有意义，需满足

解得x＞2且x≠3.

∴函数的定义域为（2,3）∪（3，＋∞）．

（2）要使函数有意义，需满足

解得－1＜x＜0或0＜x＜4.

∴函数的定义域为（－1,0）∪（0,4）．

题型三　对数函数的图象问题

【例3】　

（1）函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（　　）

A．（1,2）　　　 B．（2,1） C．（－2,1）　　 D．（－1,1）

（2）如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则（　　）

A．a4>

a3>

1>

a2>

a1>

0 B．a3>

a4>

C．a2>

0 D．a1>

（3）作函数y＝|log2（x＋1）|＋2的图象．

解析　

（1）令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（－1,1）．

（2）作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>

0.

答案　

（1）D　

（2）A

（3）解　第一步：

作y＝log2x的图象，如图

（1）所示．

第二步：

将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2（x＋1）的图象，如图

（2）所示．

第三步：

将y＝log2（1＋x）的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2（x＋1）|的图象，如图（3）所示．

第四步：

将y＝|log2（x＋1）|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图（4）所示．

规律方法　1.对数函数图象过定点问题

求函数y＝m＋logaf（x）（a>

0，且a≠1）的图象过定点时，只需令f（x）＝1求出x，即得定点为（x，m）．

2．根据对数函数图象判断底数大小的方法

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．

3．函数图象的变换规律：

（1）一般地，函数y＝f（x±

a）＋b（a，b为实数）的图象是由函数y＝f（x）的图象沿x轴向左或向右平移得到的．

（2）含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．

【训练3】　已知a>

0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是（　　）

解析　∵函数y＝ax与y＝logax互为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称．再由函数y＝ax的图象过（0,1），y＝logax的图象过（1,0），观察图象知，只有C正确．

答案　C

课堂达标

1．下列函数是对数函数的是（　　）

A．y＝loga（2x）　　　 B．y＝log22x

C．y＝log2x＋1　　 D．y＝lgx

解析　选项A，B，C中的函数都不具有“y＝logax（a＞0且a≠1）”的形式，只有D选项符合．

答案　D

2．函数f（x）＝＋lg（x＋1）的定义域为（　　）

A．[－1,3）　　　 B．（－1,3） C．（－1,3]　　 D．[－1,3]

解析　根据题意，得解得－1<

x≤3，∴f（x）的定义域为（－1,3]．

3．若函数f（x）＝ax－1的反函数的图象过点（4,2），则a＝________.

解析　∵f（x）的反函数图象过（4,2），∴f（x）的图象过（2,4），∴a2－1＝4，∴a＝4.

4．函数f（x）＝的定义域为________．

解析　要使函数f（x）有意义，则x＋1>

0，即x>

－1，解得0<

x<

2，即函数f（x）的定义域为（0,2）．

答案　（0,2）

5．已知f（x）＝log3x.

（1）作出这个函数的图象；

（2）当0<

a<

2时，利用图象判断是否有满足f（a）>

f

（2）的a值．

解　

（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示．

（2）令f（x）＝f

（2），即log3x＝log32，解得x＝2.由如图所示的图象知：

当0<

2时，恒有f（a）<

f

（2）．故当0<

2时，不存在满足f（a）>

课堂小结

1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax（a＞0，且a≠1）这种形式．

2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．

3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．

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