迭代法解线性方程组数值分析实验报告Word下载.docx
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…②
（这种转化总能实现，如令）,
并由此构造迭代公式
…③
式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。
对任意的初始向量，由式③可求得向量序列，若，则就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性
1.雅可比迭代法基本原理
设有方程组
…①
矩阵形式为,设系数矩阵A为非奇异矩阵，且
从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式
…②
取初始向量，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
…③
也可记为矩阵形式：
…④
若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，
式中
，
，
。
则方程Ax=b变为
得
于是x=D-1（L+U）x+D-1b
=D-1（D-A）x+D-1b
=（I-D-1A）x+D-1b
于是式中④中的BJ=I-D-1A,fJ=D-1b。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。
2.高斯—赛德尔迭代法
高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为
xi（k+1）=1aii（j=1i-1aijxj（k+1）-j=i+1naijxj（k）+bi）（i=1,2,…,n）
也可以写成矩阵形式
x（k+1）=BG-Sx（k）+fG-S
仍将系数矩阵A分解为A=D-L-U
则方程组变为（D-L-U）x=b
得Dx=Lx+Ux+b
将最新分量代替为旧分量，得
即
于是有
所以
3.超松弛迭代法
设已知第k次迭代向量，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量，（j=1,2,…i-1）,现在研究如何求向量的第i个分量。
首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为
（i=1,2,…n）
再将第k次迭代向量的第i个分量与进行加权平均，
得，即：
于是的SOR迭代公式
（i=1,2,…n）…①
或
（i=1,2,…n）…②
当=1时，式①即为高斯—赛德尔迭代法；
当0<
<
1时，式①称为低松弛方法，当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛；
当>
1时，式①称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。
将式②写成矩阵的形式，得：
即
于是得SOR迭代的矩阵表示
式中
三、举例说明及代码
例1：
解下面方程组.（雅克比迭代方法、高斯-赛德尔和松弛法的比较）
解：
先计算迭代矩阵：
BJ与BG的特征值跟收敛半径为
所以，用雅可比迭代法求解，迭代过程收敛，而用高斯-塞德尔迭代法求解，迭代过程发散。
取x0=（0;
0;
0）,为达到精度10-5，取w=0.1。
雅可比迭代法
松弛法
3
184
代码：
1.雅可比迭代法
function[x,k]=jacobi（A,b,x0,esp）%k为迭
A=input（'
InputA='
）;
b=input（'
Inputb='
x0=input（'
Inputx0='
esp=1.0e-5;
k=0;
n=length（b）;
x=x0;
whilemax（abs（b-A*x0））>
esp&
k<
=500;
fori=1:
n
sum=0;
forj=1:
ifj~=i
sum=sum+A（i,j）*x0（j）;
end
end
x（i）=（b（i）-sum）/A（i,i）;
x0=x;
k=k+1;
ifk>
500
fprintf（'
迭代达到上限'
）
return
k
InputA=[12-2;
111;
221];
Inputb=[111]'
;
Inputx0=[000]'
运行结果：
k=
3
ans=
-3
1
2.高斯-赛德尔迭代法
clear;
clc;
A=[12-2;
b=[111]'
N=length（b）;
%解向量的维数
库函数计算结果：
'
x=inv（A）*b%库函数计算结果
x=zeros（N,1）;
%迭代初始值
%-----（A=D-E-F）------
D=diag（diag（A））;
E=-tril（A,-1）;
%下三角
F=-triu（A,1）;
%上三角
B=inv（D-E）*F;
g=inv（D-E）*b;
eps=0.0001;
%相邻解的距离小于该数时，结束迭代
%--------开始迭代-------
fork=1:
1000%最大迭代次数为100
第%d次迭代：
k）;
y=B*x+g;
\n与上次计算结果的距离（2范数）:
%f?
\n'
norm（x-y）^2）;
ifnorm（x-y）<
eps
break;
x=y
x
（因为发散结果不能确定）
3.松弛迭代法
w=0.1;
dalt=1.0e-5;
r=size（b）;
a=b;
x0=zeros（3,1）;
r=r
（1）;
m=0;
e=1;
fort=1:
r
a（t）=A（t,t）;
A（t,t）=0;
A（t,:
）=A（t,:
）/a（t）;
b=b./a;
root=[0x'
]
whilee>
dalt
root=m;
e=0;
fori=1:
t=x（i）;
x（i）=（1-w）*x（i）+w*（b（i）-A（i,:
）*x）;
root=[rootx（i）];
t=abs（x（i）-t）;
ift>
e
e=t;
root
m=m+1;
root=
184.0000-3.00013.00001.0000
例2：
（超松弛法）达到同样的精度10-5，松弛因子的不同，会使得收敛速度大大不同（w取1.0—1.9）
w=1;
A=[4111;
1-411;
11-41;
111-4];
b=[1;
1;
1];
x0=zeros（4,1）;
运行结果整理：
松弛因子
迭代次数
1.0
7
1.6
32
1.1
8
1.7
3368（不收敛）
1.2
10
1.8
1946（不收敛）
1.3
13
1.9
1372（不收敛）
1.4
17
1.5
23
例3：
用三种方法分别计算下列方程组并进行比较：
雅克比迭代法
1）改写成等价形式
2）构造迭代公式，即为雅可比迭代公式
3）取初始向量，即代入上式，求出
依次迭代，计算结果如下表：
要求精度
方程组的近似解
0.01
（1.0994,1.1994,1.2993）
0.001
9
（1.0999，1.1999,1.2999）
0.0001
（1.1000,1.2000,1.3000）
高斯-赛德尔迭代法
1）原方程组改为等价方程组
2）构造迭代公式，即为高斯-赛德尔迭代公式
3）取初始向量，即代入上式，求出
迭代计算下去，得下表.
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