线性代数教案及讲稿Word文件下载.doc

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了解排列及其逆序数的概念之后，接着引入n阶行列式的概念，并给出n阶行列式的表示形式。

最后对对角行列式和上（下）三角形行列式利用定义进行求解。

课后分析及改进

对于大二学生，2阶和3阶行列式已经在高等数学中接触过，为了引入n阶行列式只要简单介绍便可。

主要讲解n阶行列式的定义，以及用n阶行列式的定义对对角行列式和上（下）三角形行列式进行求解。

第一章行列式

§

1.12阶行列式和3阶行列式

1．1）引入（解线性方程组）

在中学课本中我们学习了解二元一次线性方程组，例如解线性方程组：

（1）

我们利用消元法可以求得方程组的解为：

那么接下来我们将采用另外一种方法来求方程组

（1）的解，首先我们记：

（系数行列式）

其中

再例如解线性方程组：

解：

利用消元法可解得：

那么我们同样才用另外一种方法：

记：

2）提出问题：

（1）为什么解决二元一次方程能用这样的方法来解决？

（2）如果是n元一次方程能否用类似的方法来解决呢？

那么为了回答上面的两个问题我们必须学习行列式的概念和性质。

2．行列式的相关概念：

同样，设有含两个未知数的二元一次线性方程组：

其中是未知数的系数，是常数项。

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表

当时，求得方程组的解为

现在我们把方程组得系数提取出来，且保持原来的相对位置不变，排成2行2列的2阶行列式：

对角线法则：

我们已经知道了2阶行列式的计算：

注：

（主对角线上的两个数的乘积-副对角线上的两个数的乘积）

其中数称为这个行列式的元素简称“元”；

第一个下标称为行标，表示该元位于行列式的第行。

第二个下标成为列标，表示该元位于行列式的第列。

那么对应的线性方程组的解为：

3．三阶行列式：

设有9个数排成3行3列的行列式:

数表所确定的三阶行列式。

1）沙路法：

2）对角线法则：

例1：

由对角线法则有：

例2：

方程左端：

练习：

1）

1.2排列及其逆序数

1．排列：

个依次排列的元素．

　例如,自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!

=24种．

1234,1342,1423,1432,1324,1243

2134,2341,2413,2431,2314,2143

3124,3241,3412,3421,3214,3142

4123,4231,4312,4321,4213,4132

例1互异元素构成的不同排列有种．

解在个元素中选取1个种取法

在剩余个元素中选取1个种取法

…………………………

在剩余2个元素中选取1个2种取法

在剩余1个元素中选取1个1种取法

　　　　　　　　　　　　　　　　　　------------------

　　　　　　　　　　　　　　　总共种取法

2．标准排列：

个不同的自然数从小到大构成的排列．

个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．

3．逆序数：

（1）某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时,称这两个数（元素）

之间有1个逆序．

（2）排列中逆序的总和称为排列的逆序数,记作．

算法：

固定,当时,

满足的“”的个数记作（称为的逆序数）,

那么．

例2排列6372451中,．

例3排列,求逆序数．

解记作

,…,

4．奇偶性：

排列

奇数时,称为奇排列；

偶数时,称为偶排列．

1.3阶行列式的定义

1．二阶：

2．三阶：

（1）乘积中三个数不同行、不同列：

　　行标（第1个下标）：

标准排列123

　　列标（第2个下标）：

是1,2,3的某个排列（共6种）

（2）正项：

123,231,312为偶排列

负项：

132,213,321为奇排列

于是,．

3．阶：

个数,称

为阶行列式,它表示数值

其中,求和式中共有项．

例3计算,.

解中只有一项不显含0,且列标构成排列的逆序数为

故．

中只有一项不显含0,且列标构成排列的逆序数为

故．

结论：

以主对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素

　　　　的乘积．

以副对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于副对角线上元素

　　　　的乘积,并冠以符号．

特例：

　　　　，

课后作业：

习题一1

（1）（3）、3

重庆科技学院教案及讲稿

第大节

对换，n阶行列式的性质

掌握行列式的性质。

转置行列式；

行列式的性质以及一些推论；

注意在利用行列式的性质进行计算的时候容易出现的错误。

重点：

行列式的性质；

难点：

灵活运用行列式的性质；

利用行列式的性质进行计算的时候容易出现的错误。

首先表述行列式是算式，对于高阶行列式若利用行列式的定义进行计算，计算量很大，如果利用行列式本身的性质，把行列式化成上（下）三角形行列式就将简化计算。

然后对各个性质进行讲解。

最后举例说明利用行列式的性质计算行列式。

课后分析

及

改进

直接表述行列式的性质学生较难以接受，可以先用简单的例子引出行列式的性质，然后对其进行证明讲解。

1.4对换

相邻对换：

一般对换：

定理1排列经过1次对换,其奇偶性改变．

　证先证相邻对换：

（1）

（2）

：

对换后增加1,不变,故；

对换后不变,减少1,故．

　　　所以与的奇偶性相反．

　　　再证一般对换：

（3）

（1）

（2）经过次相邻对换

（2）（3）经过次相邻对换

（1）（3）经过次相邻对换,所以与的奇偶性相反．

推论奇排列标准排列,对换次数为奇数．

偶排列标准排列,对换次数为偶数．

定理2

（2）

证由定义知

（1）

先证

（2）中的项都是

（1）中的项：

交换乘积次序可得

（3）

①偶数

偶数次对换

所以偶数

②奇数

奇数次对换

所以奇数

因此,由（3）可得

同理可证

（1）中的项都是

（2）中的项．

1.5行列式的性质

性质1设,,则．

证令,则

（根据Th2）

性质2设,,则．

证

推论1对调两列得．

证因为对调两列得,相当于对调两行得

所以

推论2中某两行（列）元素对应相等．

证因为对调此两行（列）后,的形式不变

例如,对于任意的,都有．

性质3,

证

（1）左端

推论1中某行（列）元素全为0．

推论2中某两行（列）元素成比例．

性质4若对某个,有,则

[注]性质4对于列的情形也成立．

性质5

[注]性质5对于列的情形也成立．

例1计算.

解

例2计算．

例3计算．

解

习题一4

（2）（4），5

（1）（4）

线性代数与概率统计授课人：

行列式按行（列）展开、Cramer法则

1、掌握代数余子式的定义和性质；

2、掌握n阶行列式按行或列展开定理，会利用行列式的性质和展开定理计算行列式；

3、了解克莱姆（Cramer）法则；

4、会利用Cramer法则求解线性方程组。

余子式及代数余子式；

按行或列展开定理；

利用Cramer法则求解线性方程组。

1）代数余子式；

2）利用Cramer法则求解线性