概率论基础知识Word下载.doc

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3、必然事件与不可能事件：

每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。

每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。

例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：

试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。

由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、样本空间：

从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.

例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。

在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。

试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。

记为Ω。

例如，

在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}

在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}

在E3中，Ω={0，1，2，……}

例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。

此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P210=90.（排列：

和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）

若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为（组合）

例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。

此试验的样本空间所有样本点的个数为

第一种方法用组合+乘法原理；

第二种方法用排列

2事件间的关系与运算

1、包含:

“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为AB或BA。

例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}

B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4，6}则

2、相等：

若AB且BA，则称事件A等于事件B，记为A=B

例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；

B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。

显然A=B

3、和：

称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为AB，或A+B

例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。

推广：

有限个

无穷可列个

4、积：

称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为AB或AB。

例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则AB={接到6的倍数次呼唤}

推广：

任意有限个

无穷可列个

5、差：

称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。

例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝

6、互不相容：

若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。

例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：

若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。

7、对立：

称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为显然，A∩=φ

例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则={取得的3个产品均为正品}。

3事件的运算规律

1、交换律A∪B=B∪A；

A∩B=B∩A

2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

3、分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）

4、对偶律

此外，还有一些常用性质，如

A∪BA，A∪BB（越求和越大）；

A∩BA，A∩BB（越求积越小）。

若AB，则A∪B=B,A∩B=AA-B=A-AB=A等等。

例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。

A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝

解：

Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为

或

例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标},i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：

A1A2A3={三次射击都击中目标}

A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}

例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。

解，不难看出有如下一些关系：

二事件的概率

1概率的定义

所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。

规定P（A）≥0，P（Ω）=1。

1、古典概型中概率的定义

古典概型：

满足下列两条件的试验模型称为古典概型。

（1）所有基本事件是有限个；

（2）各基本事件发生的可能性相同；

例如：

掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。

此试验样本空间为

Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）=。

而P（B）=3P（A）=

定义1：

在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：

例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。

用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间

Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。

可见NΩ=8令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}

可见，令NA=3故

例2，（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。

（1）有放回地取球：

从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；

（2）无放回地取球：

从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；

（3）一次取球：

从袋中任取3个球。

在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。

（1）有放回取球NΩ=8×

8×

8=83=512 （袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等）

（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况<

注意是有放回>

，第三次取黑球只有三种情况）

（2）无放回取球 故

（3）一次取球

故

属于取球问题的一个实例：

设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为

（属于一次取球模型）

例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。

令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数

先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列

故

属于分球问题的一个实例：

全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？

令A={40个同学生日皆不相同}，则有

（可以认为有365个盒子，40个球）故

例4（取数问题）

从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：

（1） 

四个数排成一个偶数；

（2） 

四个数排成一个四位数；

（3） 

四个数排成一个四位偶数；

令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数}

，

例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？

令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}

于是

，故

不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：

1°

P（A）≥0

2°

P（Ω）=1

3°

若A1，A2，……，An两两互不相容，则

2、概率的统计定义

频率：

在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称：

为事件A的频率。

频率具有一定的稳定性。

示例见下例表

试验者

抛硬币次数 

n

正面（A）出现次数nA

正面（A）出现的

频率

德·

摩尔根

2048

1061

0．5180

浦丰

4040

2148

0．5069

皮尔逊

12000

6019

0．5016

24000

12012

0．5005

维尼

30000

14994

0．4998

定义2：

在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率fn（A）越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p

不难证明频率有以下基本性质：

2°

若A1，A2，……，两两互不相容，则

3、概率的公理化定义（数学定义）

定义3：

设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A定义一个实数P（A），如果它满足下列三条公理：

P（A）≥0（非负性） 2°

P（Ω）=1（规范性）

若A1，A2，……，An……两两互不相容，则（可列可加性，简称可加性）

则称P（A）为A的概率

4、几何定义

定义4：

假设Ω是Rn（n=1,2,3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集，则

P（A）==ū（A）/ū（Ω）

2概率的性质

性质1：

若AB,则P（B-A）=P（B）-P（A）——差的概率等于概率之差

证：

因为：

AB

所以：

B=A∪（B-A）且A∩（B-A）=φ,由概率可加性

得P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A）

即P（B-A）=P（B）-P（A）

性质2：

若AB，则P（A）≤P（B）——概率的单调性

由性质1及概率的非负性得0≤P（B-A）=P