计算机控制系统4教案Word文档格式.docx

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输出

离散系统

图4.1离散系统框图

y（k）分别表示系统的输入和输出在kT时刻的数值。

1.线性离散系统：

如果离散系统的输入信号到输出信号的变换关系满足比例叠加原理，即当输入信号为x（k）=ax1（k）+bx2（k）时，其中a,b为任意常数，系统相应的输出信号可表示为

y（k）=T[x（k）]=aT[x1（k）]+bT[x2（k）]

则该系统就称为线性离散系统。

若不满足比例叠加原理，就是非线性离散系统。

2.时不变离散系统：

是指由输入信号到输出信号之间的变换关系不随时间变化而变化的离散系统，即时不变离散系统应满足如下关系，若y（k）=T[x（k）]，那么当系统输入信号为x（k-n）时，则相应的输出信号为

y（k-n）=T[x（k-n）],n=0,±

2,L

时不变离散系统又称为定常离散系统。

3.线性时不变离散系统：

是指系统的输入信号到输出信号之间的变换关系既满足比例叠加原理，同时其变换关系又不随时间变化而变化的离散系统。

工程中大多数计算机控制系统可以近似为线性时不变离散系统来处理。

所以本书以后的论述仅限于线性时不变离散系统。

4.2差分方程

线性时不变离散系统的基本数学描述是常系数线性差分方程。

差分方程有前向差分方程与后向差分方程之分。

为了方便，这里提到差分方程，若无特别说明，均指线性常系数差分方程；

系统是指线性时不变离散系统。

4.2.1线性常系数差分方程

（图4.1重绘与此）

设有一单输入、单输出的线性时不变离散系统，如图

4.1所示。

显然，在某一采样时刻的系统输出值y（k）不仅与

该时刻的输入值x（k）有关，而且与过去时刻的输入值x（k-1），

x（k-2）,L有关，还和过去时刻的输出值y（k-1）,y（k-2）,L有关。

这种关系可以描述为

y（k）+a1y（k-1）+a2y（k-2）+L+any（k-n）

=b0x（k）+b1x（k-1）+b2x（k-2）+L+bmx（k-m）

（4.2）

式中，a1,a2,Lan,b0,b1,b2,Lbm均为实常数，n为方程的阶次。

因此，式（4.2）称为n阶后向非齐次差分

方程。

对于n阶差分方程，an

¹

0，其余系数a,La

n-1都有

1

可能为零。

若an

=0，就相当于方程的阶次降为n-1阶。

若b0=0则相应离散系统有一拍（即一个采样周期T）的延迟，即系统在k时刻输出y（k）只与k以前各时刻的输入x（k-i）,i=1,2,L,m有关，而与当前时刻的输入值x（k）无

关。

若b0

=b1

=L=bl

=0，则相应离散系统存在l+1拍

延迟，即系统当前时刻的输出y（k）只与（k-l）以前时刻的输入（k-l-1）,L,（k-l-m）有关。

与方程（4.2）类似，非齐次n阶前向差分方程基本形式为

y（k+n）+a1y（k+n-1）+L+any（k）

=b0x（k+m）+b1x（k+m-1传+L+bmx（k）

（4.3）

式中，a1,a2,Lan,b0,b1,b2,Lbm均为实常数。

对于有因果关系的物理系统，方程中总是m£

n。

若m>

n，将式（4.3）的两边右移n拍，即

y（k）+a1y（k-1）+L+any（k-n）

=b0x（k+m-n）+b1x（k+m-n-1传+L+bmx（k-n）

上式右边第一项为b0x（k+m-n），令m-n=d

，即有

b0x（k+d）项，说明当前的输出y（k）与未来输入x（k+d）有关，即不是因果关系。

表明方程描述的离散系统输出信号超前于输入信号，即输入信号尚未作用于系统，其对应的输出信号就已出现，或者说系统当前时刻的输出y（k）与未来时刻输入值

x（k+d）,d>

0有关。

这种情况在现实的物理系统是不可能出现的。

当m<

n，表明相应的系统存在延迟，若n-m=d则相应离散系统的输出相对于输入有d拍延迟。

工程上差分方程都是采用其标准形式如方程（4.2）和

（4.3）形式，至于前向差分方程和后向差分方程，并无本质区别，前向差分方程多用于描述非零初始值的离散系统，而后向差分多用于描述全零初始值的离散系统。

若不考虑

系统初始值，就系统输入与输出关系而言两者完全等价，可以相互转换。

4.2.2差分方程求解

差分方程求解，就是在系统初始值（即系统输入、输出的初始值）和输入序列已知的条件下, 求解差分方程描述的系统在任何时刻的输出序列值。

差分方程解的形式与微分方程解相似，非齐次差分方程的解是由通解加特解组成的。

通解表示方程描述的离散系统在输入为零情况下

（即无外界作用）由系统非零初始值所引起的自由运动，它反映系统本身所固有的动态特性；

特解表示方程描述的离散系统在外界输入作用下所产生的强迫运动，它既与系统本身的动态特性有关，又与外界输入作用有关，但与系统初始值无关。

求解线性时不变差分方程有三种基本方法，即经典解法、计算机迭代编程法以及Z变换法。

1.差分方程的经典解法

与（4.2）式相应的齐次方程为

y（k）+a1y（k-1）+a2y（k-2）+L+any（k-n）=0

（4.4）

设满足齐次方程（4.4）的通解具有Aak的形式，并将其代入（4.4）式，得

Aak+a

Aak-1+a

Aak-2+L+a

Aak-n=0

2

n

Aak（1+aa-1+aa-2+L+aa-n）=0

1 2 n

因为Aak¹

0，故得

1+aa-1+aa-2+L+aa-n=0

（4.5）

用an乘（4.5）式的两边，得

an+aan-1+aan-2

+L+a =0

（4.6）

式（4.6）称为齐次方程（4.4）的特征方程。

若特征方程有两两相异的特征根a1,a2,L,an，则

y（k）=Cak

+Cak

+L+Cak

（4.7）

11 2 2 n n

式（4.7）称为齐次方程（4.4）的通解。

式中系数

C1,C2,LCn由初始值求出。

若特征方程有a1的m重特征根，那么差分方程的通解为

y（k）=（Ckm-1+Ckm-2+L+C

）ak+C ak+L+Cak-m+1

1 2

（4.8）

m 1 m+12 n n

若ai为复数或虚数时，总是成对出现，每对复数特征值所对应的自由运动分量呈现衰减振荡或发散振荡，每对虚特征值所对应的自由运动分量呈现等幅振荡。

当差分方程包含输入作用时，称该方程为非齐次方程。

非齐次方程的特解与微分方程的特解类似，特解的形式要经过试探才能确定。

表4.1列出了非齐次差分方程常见的特解形式。

表4.1非齐次差分方程常见的特解形式

输入量x（k）

输出量y（k）

km

pkm+pkm-1+L+p

0 1 m

ak

a不是差分方程的任何特征

根

pak

a是差分方程

的特征根之

一

相异根

pkak+pak

m-1次重根

pkm-1ak+pkm-2ak+L+pak

1 2 m

例4.1求解差分方程

y（k）+2y（k-1）=2k-1

（4.9）

的解y（k）。

初始值y（0）=1。

解该差分方程的特征方程为

所以，特征根为

a+2=0

a=-2

因此差分方程的通解为

C（-2）k

设差分方程的特解为



p1k+

p2代入（4.9）式，得

p2+2[p1（k-1）+

p2]=2k-1

3p1k-2p1+3p2

（4.10）

=2k-1

比较（4.10）式两边系数，得

p1=3,

p =1

2 9

则，差分方程的特解为

2k+1

3 9

因此，差分方程的全解为

y（k）=C（-2）k+2k+1

利用初始值y（0）=1代入上式，

1=C+1

9

则 C=8将C值代入上式，可得差分方程的全

解为

y（k）=8（-2）k+2k+1

k=0,1,2,L

9 3 9

2.利用计算机编程解差分方程

高阶差分方程不论前向或后向差分方程，都是一种递推算法，任何差分方程都可以用递推算法求解。

现对一般

n阶前向差分方程递推求解予以说明，为便于计算，将n阶

前向差分方程（4.3）改写为

y（k+n）=-a1y（k+n-1）-a2y（k+n-2）-L-any（k）

+b0x（k+m）+L+bmx（k）

n m

=-å

aiy（k+n-i）+å

bix（k+m-i）

（4.11）

i=1

i=0

只要知道输出序列初始值y（0）,y

（1）,L,y（n-1）和任何时刻的输入序列x（i）,i=0,1,2,L，那么系统任何时刻的输出序列y（k），k³

n，都可以由式（4.11）逐步递推计算出来。

例4.2求下列差分方程的解y（k）。

y（k）+y（k-1）=x（k）-x（k-1）,

k³

0

式中

ì

1,