圆锥曲线经典题目(含答案)Word格式.doc
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A. B. C.y=2x D.y=4x
8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(1,) C.(2.+∞) D.(1,2)
9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是( )
A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
10.已知F是双曲线C:
x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
二.填空题(共2小题)
11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是 .
12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为 .
三.解答题(共4小题)
13.已知点F1、F2为双曲线C:
x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求•的值.
14.已知曲线C1:
﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:
+=1有相同的焦点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:
x=,垂足为C,求证:
直线AC恒过x轴上一定点.
15.已知双曲线Γ:
的离心率e=,双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1.
(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;
(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点?
若直线l存在,请求直线l的方程;
若不存在,说明理由.
16.已知双曲线C:
的离心率e=,且b=.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且•=0,求△PEF的面积.
【解答】解:
∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,
∴1>b>0或b>1.
∴e==>1且e≠.
故选:
D.
由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02﹣1<0,
所以﹣<y0<.
A.
取PF2的中点A,则
∵,
∴⊥
∵O是F1F2的中点
∴OA∥PF1,
∴PF1⊥PF2,
∵|PF1|=3|PF2|,
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴10a2=4c2,
∴e=
故选C.
设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),
由=2,可得B(﹣,﹣),
把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,
即=1,整理可得c=a,
即离心率e==.
C.
∵双曲线渐近线为bx±
ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径,即
∴b2<a2,
∴c2=a2+b2<2a2,
∴e=<
∵e>1
∴1<e<
设F(c,0),渐近线方程为y=x,
可得F到渐近线的距离为=b,
即有圆F的半径为b,
令x=c,可得y=±
b=±
,
由题意可得=b,
即a=b,c==a,
即离心率e==,
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,
又|PF1|=2|PF2|,
得|PF2|=2a,|PF1|=4a;
在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,
则b2=4a2.即b=2a,
双曲线=1一条渐近线方程:
y=2x;
ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1
∴3a2<b2,
∴c2=a2+b2>4a2,
∴e=>2
由双曲线的一条渐近线方程为y=x,
可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),
代入点P(2,),可得
λ=4﹣2=2,
可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,
即为﹣=1.
B.
由双曲线C:
x2﹣=1的右焦点F(2,0),
PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,
则P(2,3),
∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,
∴△APF的面积S=×
丨AP丨×
丨PF丨=,
同理当y<0时,则△APF的面积S=,
故选D.
11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是 20 .
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8
∵双曲线x2﹣=1的通径为==8
∵PQ=8
∴PQ是双曲线的通径
∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4
∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2
∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12
∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,
故答案为20.
12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为 .
∴2•=0,
∴,
∵OA是△PF1F2的中位线,
∴PF1⊥PF2,OA=PF1.
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,
∵|PF1|=|PF2|,
∴|PF2|=,|PF1|=.
△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴()2+()2=4c2,
∴e=.
故答案为:
(1)设F2,M的坐标分别为,
因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,
在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°
,,所以…(3分)
由双曲线的定义可知:
故双曲线C的方程为:
…(6分)
(2)由条件可知:
两条渐近线分别为…(8分)
设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,
则点Q到两条渐近线的距离分别为,…(11分)
因为Q(x0,y0)在双曲线C:
上,
所以,又cosθ=,
所以=﹣…(14分)
【解答】
(Ⅰ)解:
由题知:
a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)
∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,
∴=即a2=b2,…(3分)
∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;
…(4分)
(Ⅱ)证明:
由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:
x=ny+…(5分)
与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)
由题可设点C(,y2),
由点斜式得直线AC的方程:
y﹣y2=(x﹣)…(9分)
令y=0,可得x===…(11分)
∴直线AC过定点(,0).