2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷+3+Word版含解析Word下载.doc

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2．若实数b满足：

（3＋bi）（1＋i）－2是纯虚数，则实数b＝（　　）

A．－1 B．0

C．1 D．2

C　[（3＋bi）（1＋i）－2＝1－b＋（b＋3）i是纯虚数，所以1－b＝0，b＝1.]

3．函数f（x）＝＋的定义域为（　　）

A．（2，＋∞） B．（－∞，0）

C．（0,2） D．[0,2]

D　[由，得0≤x≤2，故选D.]

4．已知向量a＝（1,3），向量b＝（x，－1），若a⊥b，则实数x的值为（　　）

A．－3 B．3

C．－1 D．1

B　[由于两个向量垂直，故a·

b＝x－3＝0，x＝3.]

5．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（　　）

A.B.C.D．不确定

B　[P＝.]

6．倾斜角为45°

，在y轴上的截距为2的直线方程是（　　）

A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0

C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0

A　[易知k＝1，则直线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.]

7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（　　）

A.π B．2π

C．3π D．4π

A　[由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为2×

π×

2＋2π×

×

1＝π，故选A.]

8．命题“∀x∈R，f（x）g（x）≠0”的否定是（　　）

A．∀x∈R，f（x）＝0且g（x）＝0

B．∀x∈R，f（x）＝0或g（x）＝0

C．∃x0∈R，f（x0）＝0且g（x0）＝0

D．∃x0∈R，f（x0）＝0或g（x0）＝0

D　[根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得：

命题“∀x∈R，f（x）g（x）≠0”的否定是“∃x0∈R，f（x0）＝0或g（x0）＝0”，故选D.]

9．把函数y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（　　）

A．y＝2sin B．y＝2sin

C．y＝sin D．y＝sin

A　[把函数y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝g（x）＝sin的图象，再把y＝g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为y＝2sin，故选A.]

10．过点P（1，－3）的抛物线的标准方程为（　　）

A．x2＝y或x2＝－y

B．x2＝y

C．y2＝－9x或x2＝y

D．x2＝－y或y2＝9x

D　[当抛物线的焦点在x轴上时，设方程为y2＝mx，

则9＝m，即y2＝9x，

当抛物线的焦点在y轴上时，设方程为x2＝my，则1＝－3m，m＝－，故x2＝－y，故选D.]

11．已知圆O：

x2＋y2＝5和点A（1,2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

A．5 B．10

C. D.

D　[因为点A（1,2）在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，

令x＝0得y＝.令y＝0得x＝5，

故S△＝×

5＝.]

12．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝b，则角A等于（　　）

A.B.C.D.

D　[由正弦定理得2sinAsinB＝sinB，即sinA＝，又△ABC为锐角三角形，故A＝.]

13．函数f（x）＝ln|x|＋的图象大致为（　　）

A　[由四个选项的图象可知f

（1）＝1，令x＝，f＝－1＋e>

1＝f

（1），由此排除C选项．令x＝e，f（e）＝1＋>

1＝f

（1），由此排除B选项．由于f（－e100）＝100－>

0，排除D选项．故选A.]

14．若直线＋＝1（a>

0，b>

0）过点（1,1），则a＋b的最小值等于（　　）

A．2 B．3C．4 D．5

C　[将（1,1）代入直线＋＝1得＋＝1，a>

0，故a＋b＝（a＋b）＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号．故选C.]

15．已知函数f（x）＝x3－4x＋2ex－，其中e是自然对数的底，若f（a－1）＋f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1] B.

C. D.

D　[由f′（x）＝x2－4＋2ex＋2e－x≥x2－4＋2＝x2≥0，知f（x）在R上单调递增，且f（－x）＝－x3＋4x＋2e－x－2ex＝－f（x），即函数f（x）为奇函数，故f（a－1）＋f（2a2）≤0⇔f（a－1）≤f（－2a2）⇔a－1≤－2a2⇔2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤.故选D.]

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上）

16．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．

16　[40×

＝16.]

17．一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是________．

　[两个红球编号为1,2，两个白球编号为3,4，从中任取两个球，共有以下6个结果：

（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），其中恰有一个红球的结果有4个，故所求的概率为＝.]

18．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，则tanC＝________.

－2　[△ABC中，∵3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，

∴cosC＝＝＝－，

∴sinC＝＝，

故tanC＝＝－2.]

19．如图，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限且∠PF1F2＝120°

，△PF1F2的面积为________．

　[由已知，得a＝2，b＝，

所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.

在△PF1F2中，由余弦定理，得

|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos120°

，

即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，

即|PF2|＝4－|PF1|.②

将②代入①，得|PF1|＝.

所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin120°

＝×

2×

＝.]

三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：

（1）FD∥平面ABC;

（2）AF⊥平面EDB.

[证明]　

（1）∵F是BE的中点，取BA的中点M，连接CM，FM，∴FM∥EA，

FM＝EA＝a，

∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又CD＝a＝FM，

∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC

∴FD∥平面ABC.

（2）因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB，

又EA垂直于平面ABC，∴CM⊥AE，

又AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB

∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF，因F是BE的中点，EA＝AB，所以AF⊥EB.

EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB.

21．已知公差不为零的等差数列{an}满足：

a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列的前n项和Tn.

[解]　

（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），由题可知a1·

a13＝a，

即3（3＋12d）＝（3＋3d）2，解得d＝2，

则an＝3＋（n－1）×

2＝2n＋1.

（2）由上述推理知Sn＝n（n＋2），

则Tn＝＋＋＋…＋

＝

＝－－

＝－.