必修一第三章函数和零点Word文档下载推荐.doc

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方程的根

两个不相等的实根

两个零点

两个相等的实根

一个二重零点

无实根

无零点

（3）二次函数零点的性质

①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.

引伸：

对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.

2．函数零点的判定

（1）利用函数零点存在性的判定定理

如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.

①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；

若不单调，则个数不确定．

②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．

③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．

（2）利用方程求解法

求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．

（3）利用数形结合法

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．

要点二：

一元二次方程根的分布与方程系数的关系

（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：

①当x1＜x2＜k时，有；

②当k＜x1＜x2时，有；

③当x1＜k＜x2时，；

④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；

⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．

讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：

①判别式；

②区间端点的函数值的符号；

③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．

（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．

设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2．

①；

②；

③；

④x1=0，x2＞0c=0，且；

x1＜0，x2=0c=0，且．

要点三：

二分法

1.二分法

所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.

2.用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.

第一步：

在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.

第二步：

取区间的中点，则此中点对应的坐标为

.

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令

第三步：

取区间的中点，则此中点对应的坐标为

③如果，则零点位于区间中，令；

……

继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.

（1）第一步中要使：

①区间长度尽量小；

②、的值比较容易计算且．

（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．

【经典例题】

类型一、求函数的零点

例1.求下列函数的零点.

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】

（1）-3，1；

（2）-1，1；

（3）-2，0，2．

【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.

（1）由，令，得，故函数零点是-3，1；

（2）由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1；

（3）令，即，

即，得，故函数的零点是-2，0，2．

【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.

举一反三：

【变式1】求函数：

（1）；

（2）的零点.

（2）-3，1，2．

【解析】

（1）令，即，得．

（2）方程可化为

由知

所以函数的零点为；

函数的零点为-3，1，2.

【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.

类型二、函数零点的存在性定理

例2．与分别是实系数一元二次方程和的一个根，且，。

求证：

方程有且仅有一根介于与之间。

证明：

令

与分别是实系数一元二次方程和的一个根，

，，

故，，

，

方程有且仅有一根介于与之间

【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：

只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否满足，还要看函数的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．

解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．

【变式1】若函数，则下列判断正确的是（）

A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解

B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解

C．函数f（x）是奇函数

D．函数f（x）是偶函数

【答案】A

【变式2】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．

（1）当时，方程为，不满足题意舍去．

（2）当时，令，

分情况讨论：

①，不满足题意舍去．

②，

若且即，满足题意．

若且即时，的另一解是．

综上所述，满足条件的的取值范围是．

类型三、利用函数图象求函数的零点个数

例3．试讨论函数的零点个数．

由得，令

的图象如图所示，

．

当即时，与无公共点．

当或，即或时，与有两个交点．

当即时，与有四个交点．

当，即时，与有三个交点．

所以，当时，函数无零点．

当或时，函数有两个零点．

当时，函数有四个零点．

当时，函数有三个零点．

【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．

【变式1】关于x的方程（x2―1）2―|x2―1|+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不等的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根．

其中假命题的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【解析】据题意令|x2－1|=t（t＞0）①，

则原方程化为t2―t+k=0②，

作出函数y=|x2―1|的图象如图，结合函数的图象可知：

当t=0或t＞1时，方程①有2个不等的实根；

当0＜t＜1时，方程①有4个不等的实根；

当t=1时，方程①有3个不等的实根．

（1）当时，方程t2―t+k=0存在2个不等的小于1的正实根，原方程就存在8个不等的实根；

（2）当k=0时，t=0或t=1，原方程存在{0，1，―1，，}共5个不等的实根；

（3）当时，，原方程存在共4个不等的实根；

（4）当k＜0时，一元二次方程t2―t+k=0的根为一正一负，且两根之和为1，可知方程t2―t+k=0的正根t＞1，故原方程只有2个不等的实根；

（5）当时，方程②无实根，故原方程无实根．故选A．

类型四、一元二次方程根的分布

例4．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．

（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）内，另一根在区间（1,2）内，求的取值范围．

（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围．

（2）．

（1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，

，∴．∴．

（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有．

∴．∴．

【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．

探究本例中若方程的二次项系数含有参数（mx2+2x+m+2=0，m≠0），如何求解？

可以用分类讨论方法求解，即讨论m＞0和m＜0，结合图象求解；

注意讨论过程中，函数端点值的符号与m的正负有关，因此也可用下面方法求解．即设，则在

（1）中有，在

（2）中有．

例5．若二次函数y=―x2+mx―1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．

【答案】

【解析】先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m范围．

线段AB的方程为x+y=3（0≤x≤3），

由题意得方程组有两组实解．

①代入②得x2－（m+1）x+4=0（0≤x≤3）有两个实根，

令．因此问题转化为二次函数在x∈[0，3]上有两个不同的实根，故有

，解得．故m的取值范围是．

【总结升华】本题解法体现了函数与方程的思想：

从列方程（组）开始，通过消元得到一元二次方程，对这个方程实根的研究转化为二次函数f（x）在[0，3]的实根，又转化为二次函数f（x）在[0，3]上与x轴有两个交点的问题，最后建立m的不等式组求出m的取值范围，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数方程思想的应用．

【变式1】关于x的方程ax2―2（a+1）x+a―1=0，求a为何值时：

（1）方程有一根；

（2）方程有一正一负根；

（3）方程两根都大于1；

（4）方程有一根大于1，一根小于1．

（1）或

（2）（3）不存在实数（4）

（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；

当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2（a+1）x+a―1=0有一根．

（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．

（3）方程两根都大于1，图象大致如图

所以必须满足

或两不等式组均无解．

所以不存在实数，使方程两根都大于1．

（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图

所以必须满足或解得．

类型五、用二分法求函数的零点的