2019-2020广东学业水平测试数学学考仿真卷-2-Word版含解析Word文档格式.doc

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A.B．－C．－D.

B　[原式＝lg10－3＋lne＝－3＋＝－.]

4．若a为实数且＝3＋i，则a＝（　　）

A．－4B．－3C．3D．4

D　[因为＝3＋i，所以2＋ai＝（3＋i）（1＋i）＝2＋4i，故a＝4，选D.]

5．设x∈R，则“x>

3”是“x2－2x－3>

0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[x2－2x－3>

0⇔x>

3或x<

－1.由于{x|x>

3}是{x|x>

－1}的真子集，∴“x>

0”的充分不必要条件．]

6．已知点（m,1）（m>

0）到直线l：

x－y＋2＝0的距离为1，则m＝（　　）

A.B．2－C.－1D.＋1

C　[由题意知＝1，∴|m＋1|＝，解得m＝－1或m＝－－1.又m>

0，∴m＝－1.故选C.]

7．如果正△ABC的边长为1，那么·

等于（　　）

A．－ B.

C．1 D．2

B　[∵正△ABC的边长为1，∴·

＝||·

||cosA＝1×

1×

cos60°

＝.]

8．对于不同直线a，b，l以及平面α，下列说法中正确的是（　　）

A．如果a∥b，a∥α，则b∥α

B．如果a⊥l，b⊥l，则a∥b

C．如果a∥α，b⊥a则b⊥α

D．如果a⊥α，b⊥α，则a∥b

D　[对于A选项，b可能属于α，故A选项错误．对于B选项，a，b两条直线可能相交或异面，故B选项错误．对于C选项，b可能平行于α或属于α，故C选项错误．对于D选项，根据线面垂直的性质定理可知，D选项正确，故选D.]

9．如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f

（1）等于（　　）

A．－4 B．－2

C．2 D．4

B　[根据题意，由函数的图象可得f（－1）＝2，又由函数为奇函数，则f

（1）＝－f（－1）＝－2.]

10．已知函数f（x）＝x－2＋log2x，则f（x）的零点所在区间为（　　）

A．（0,1） B．（1,2）

C．（2,3） D．（3,4）

B　[∵连续函数f（x）＝log2x＋x－2在（0，＋∞）上单调递增，

∵f

（1）＝－1<

0，f

（2）＝2－2＋log22＝1>

0，

∴f（x）＝x－2＋log2x的零点所在的区间为（1,2），故选B.]

11．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝（　　）

A．－2 B．2

C．－8 D．－2或－8

C　[依题意解得q＝－2（q≠1），故a3＝a1q2＝－2×

（－2）2＝－8.]

12．直线y＝ax＋1与圆（x－1）2＋y2＝4的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交

C．相离 D．随a的变化而变化

B　[∵直线y＝ax＋1恒过定点（0,1），又点（0,1）在圆（x－1）2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．]

13．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是（　　）

A．y＝±

x B．y＝±

x

C．y＝±

x D．y＝±

2x

A　[由题意知－＝1，故渐近线方程为y＝±

x.]

14．某几何体示意图的三视图如图示，已知其正视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为（　　）

A．π B．2π

C．4π D．16π

C　[由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为l，则2r＋2l＝8⇒r＋l＝4，又S侧＝πrl≤π2＝4π（当且仅当r＝l时“＝”成立）．]

15．设x，y满足约束条件则z＝（x＋1）2＋y2的最大值为（　　）

A．80B．4C．25D.

A　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

（x＋1）2＋y2可看作点（x，y）到点P（－1,0）的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P（－1,0）的距离最大．解方程组得A点的坐标为（3,8），代入z＝（x＋1）2＋y2，得zmax＝（3＋1）2＋82＝80.]

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上）

16．圆C的方程是x2＋y2＋2x＋4y＝0，则圆的半径是________．

　[依题意（x＋1）2＋（y＋2）2＝5，故圆的半径为.]

17．函数y＝sinωx－（ω>

0）的最小正周期为π，则ω＝________.

2　[由T＝＝π，得ω＝2.]

18．一组数据为84,84,84,86,87，则这组数据的方差为________．

1．6　[依题意，该组数据的平均数＝×

（84＋84＋84＋86＋87）＝85，∴这组数据的方差是×

[3×

（84－85）2＋（86－85）2＋（87－85）2]＝1.6.]

19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

30　[设y为一年的总运费与总存储费用之和，

则y＝·

6＋4x

＝＋4x≥2＝240.

当且仅当＝4x，

即x＝30时，y取最小值．]

三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos（A＋B）＝1.

（1）求角C的度数；

（2）求AB的长．

[解]　

（1）cosC＝cos[180°

－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－.

又∵C∈（0°

，180°

），∴C＝120°

.

（2）∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，

∴

∴AB2＝a2＋b2－2abcos120°

＝（a＋b）2－ab＝10，

∴AB＝.

21．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC­

A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．

（1）求证：

B1C∥平面A1BD；

（2）若AC1⊥平面A1BD，求证：

B1C1⊥平面ABB1A1；

（3）在

（2）的条件下，设AB＝1，求三棱锥B­

A1C1D的体积．

[解]　

（1）证明：

连接AB1交A1B于E，连接ED.

∵ABC­

A1B1C1是三棱柱，且AB＝BB1，

∴侧面ABB1A1是一正方形，∴E是AB1的中点．

又已知D为AC的中点，

∴在△AB1C中，ED是中位线，∴B1C∥ED.又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD，

∴B1C∥平面A1BD.

（2）证明：

连结AC1，∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵侧面ABB1A1是一正方形，∴A1B⊥AB1.

又∵AC1∩AB1＝A，AC1，AB1⊂平面AB1C1，

∴A1B⊥平面AB1C1.

又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵ABC­

A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1.

又∵A1B∩BB1＝B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.

（3）连结DC1，∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1，

∴BD就是三棱锥B­

A1C1D的高．

由

（2）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，

∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．

又∵AB＝BC＝1，∴BD＝，

∴AC＝A1C1＝，

∴三棱锥B­

A1C1D的体积

V＝·

BD·

S△A1C1D＝·

·

A1C1·

AA1＝.

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