实际问题与一元一次方程(常见题型)文档格式.doc

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知识点二、常见列方程解应用题的几种类型

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：

增长量＝原有量×

增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：

抓住关键词列方程，常见的关键词有：

多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系：

路程=速度×

时间

（2）基本类型有：

　①相遇问题（或相向问题）：

Ⅰ．基本量及关系：

相遇路程=速度和×

相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：

甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：

追及路程=速度差×

追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，同地不同时出发：

前者走的路程＝追者走的路程；

第二，同时不同地出发：

前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：

顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×

水流速度；

抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×

工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

寻找相等关系的方法：

抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?

【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米．

依题意，得5.8-x＝3x+0.6

解得x＝1.3

5.8-x＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）

答：

生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．

【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含x的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米．

举一反三：

【变式】

（麻城期末考试）麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?

【答案】解：

设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：

x+2x+4x＝2800，

解得：

x＝400

答：

麻商集团第二个季度销售冰箱400台．

类型二、行程问题

1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

【答案与解析】

解：

设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：

4x+0.5＝5（x-0.5），解得x＝3．

所以4x+0.5＝4×

3+0.5＝12.5（千米）．

学校到县城的距离是12.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．

【答案】

设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时间为小时．依题意，得：

，

化简得：

．

显然a≠0，解得

汽车的平均速度为千米/时．

2.相遇问题（相向问题）

【高清课堂：

实际问题与一元一次方程

（一）388410相遇问题】

3．A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？

【答案与解析】

解:

设甲经过x小时与乙相遇.

由题意得：

解得，x=2.75

甲经过2.75小时与乙相遇．

【总结升华】等量关系：

甲走的路程+乙走的路程=100km

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?

设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶（x+2.5）千米，根据题意，得：

（千米）

甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?

设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，

得，

得：

，小时=10分钟．

通讯员用10分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题：

路程差=速度差×

时间，此外注意：

方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．

4.航行问题（顺逆风问题）

5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．

解法1：

设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为（x+4）千米/时，逆水航行的速度为（x-4）千米/时，由两码头的距离不变得方程：

3（x+4）＝5（x-4），解得：

x=16，

（16+4）×

3=60（千米）

两码头之间的距离为60千米．

解法2：

设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：

，解得：

【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；

逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．

类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；

甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?

【思路点拨】视水池的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；

那么甲乙合注1小时注水池的，甲管单独注水每小时注水池的，合注7小时注水池的，乙管每小时注水池的．

【答案与解析】

设乙管还需x小时才能注满水池．

由题意得方程：

解此方程得：

x＝9

单独开乙管，还需9小时可以注满水池．

【总结升华】工作效率×

工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”．

【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?

设乙中途离开x天，由题意得

乙中途离开了3天

类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）

7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?

共能生产多少套?

【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．

设做上衣需要xm，则做裤子为（750-x）m，做上衣的件数为件，做裤子的件数为，则有：

x＝450，

750-x＝750-450＝300（m），（套）

答：

用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．

【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：

上衣总件数＝裤子的总件数．

实际问题与一元一次方程

（一）调配问题】

【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的.

设从甲队调出x人到乙队.由题意得，

解得，x=12.

需要从甲队调出12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的.

实际问题与一元一次方程

（二）（提高）

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

第一，同地不同时出发：

第二，同时不同地出发：

水速；

1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

【答案与解析】　　

设油箱里原有汽油x公斤，由题意得：

x（1-25%）（1-40%）+1=25%x+（1-25%）x×

40%

x=10

油箱里原有汽油10公斤.