人教版七年级数学上册专题复习---数轴上的动点问题讲义--含部分答案Word下载.doc
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【解法二】用方程解。
设速度为x米/秒,根据路程=时间×
速度,得:
200=180x,解得x=10。
如果在线段图上,用一个具体的数来表示甲地和乙地,从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴,这个问题就转化为数轴上的运动问题了。
【题2】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为0,点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止。
设运动时间为t。
(1)用含t的代数式表示电子蚂蚁P运动的距离;
(2)用含t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数;
(3)用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。
(4)当电子蚂蚁运动多少时间后,点P为线段AB的三等分点?
【分析】引入数轴后,其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线,将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。
所以,对于运动的点,处理的核心思想依然是路程=速度×
时间。
其余的点的距离,利用数轴上两点间距离公式解决。
(1)根据路程=速度×
时间,有:
AP=t;
(2)AP=t,故点P表示的数为t;
(3)点B表示的数为200,点P表示的数为t,且P在B左边,故PB=200-t。
(4)若P为AB的三等分点,有两种情况:
①AP=2PB,即:
t=2´
(200-t),解得t=400秒;
3
②2AP=PB,即:
2t=200-t,解得t=200秒;
现在,我们将【题2】一般化,线段AB一般化为在数轴上的一条定长线段,便得到如下的题:
【题3】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且数A和数B的距离为200个单位长度,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止。
(1)用含a的代数式表示数B;
(2)用含a和t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数;
【分析】一般化后,增加了字母参数,更加抽象化,难度也上升了,但若严格按照逻辑推理进行解题,难度也会有所下降。
(1)由数轴上两点间距离公式可得:
b-a=200,整理得:
b=200+a;
(2)由路程=速度×
时间得,AP=t,即A、P两点间的距离为t;
同
(1)可得,点P表示的数为a+t。
(3)由于数B≥数P,故根据数轴上两点间距离公式有:
BP=b-(a+t)=a+200-(a+t)=200-t。
我们发现,只要线段AB的长度固定,点P到B的距离跟A、B表示的数无关。
接下来,我们将问题复杂化,变为双动点问题,请看【题4】。
【题4】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为0,点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止;
另一电子蚂蚁Q在同一时间从B出发,以2个单位每秒的速度由B往A运动,到A点运动停止。
(1)当电子蚂蚁P、Q相距40个单位长度时,求运动时间t;
(2)用含t的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。
【分析】本题的实质,就是行程问题中的相向运动问题,若用数轴不好理解,可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。
(1)在运动的过程中,点P和点Q的位置有三种情况:
P在Q的右边,P和Q重合,P在Q的左边,故运用两点间距离公式时,需要加个绝对值号,可以有效避免漏掉情况。
另外,Q到A后,Q停止,但P继续往B运动,故也得考虑这种情况。
①P、Q都在运动时,0秒£
t£
100秒时,点P表示的数为t,点Q表示的数为200-2t,故P、Q两
点间的距离为200-2t-t。
根据题意有:
200-2t-t=40。
很自然地需要分类讨论,考虑了两种情况。
②Q停止运动,P继续运动,此时PQ距离>100,故不符合题意。
(2)①P与Q相遇之前,即P在Q的左边,此时有数Q>数P,0秒£
t<200秒,此时:
PQ=200-2t-t=200-3t
②P与Q相遇后,Q停止运动前,即Q在P的左边,此时有数P>数Q,200秒£
100秒,此时:
PQ=t-(200-2t)=3t-200
③Q停止运动,P继续向B运动直至停止,数Q为0,数P>数Q,100秒<t£
200秒,此时:
PQ=t-0=t
【提炼】第
(1)问题,利用数轴上两点间的距离公式,能有效解决漏掉情况的问题。
下面,我们把线段等分点加进来,提升难度,请看【题5】和【题6】。
其处理的核心,依然是表示出相关的数。
【题5】如图,数轴上有两点A、B,点A表示的数为0,点B表示的数为200,一只电子蚂蚁P从A出发,以1个单位每秒的速度由A往B运动,到B点运动停止;
(1)当P为AQ中点时,求运动时间t;
(2)当Q为BP中点时,求运动时间t。
【分析】搭上了线段中点,处理方式依然不变,用含t的代数式表示出数Q、数P,利用两点间距离公式解题。
(1)点P表示的数为t,点Q表示的数为200-2t,若P为AQ中点,有AP=PQ,即:
t=200-2t-t,解得:
t=50秒;
(2)点P表示的数为t,点Q表示的数为200-2t,若Q为BP中点,有PQ=BQ,即:
200-2t-t=2t,解得:
t=40秒。
【题6】已知数轴上A、B两点对应的数分别是-2和4,P为原点。
若A、B、P三点分别以1个单位每秒、
4个单位每秒、2个单位每秒的速度向右运动,当A、B、P三点有其中一点为其余两点的中点时,求运动的时间。
【分析】按理说有三种情况,A为P、B中点,B为A、P中点,P为A、B中点,但结合条件,发现A不可能为P、B中点,故此种情况可以舍去。
设运动时间为t,则运动过程中,点A表示的数为t-2,点P表示的数为4t,点B表示的数为4+2t。
①B为A、P中点,有AB=BP,即:
4+2t-t+2=4t-4-2t,解得:
t=10秒;
②P为A、B中点,有AP=PB,即:
4t-t+2=4+2t-4t,解得:
t=0.4秒;
【思考】线段(直线、射线)上的运动问题,可以转化为数轴上的运动问题来处理吗?
最后,放几个题结束本文。
【题1】如图,数轴上A、B两点对应的有理数分别为-8和12,点P从原点O出发,以每秒1个单位长度
的速度沿数轴负方向运动,同时点Q从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,运动时间为t秒。
(1)求经过两秒后,数轴点P、Q分别表示的数;
(2)当t=3时,求PQ的值;
(3)在运动过程中,是否存在时间t,使得AP=BQ,若存在,求出t值;
若不存在,说明理由。
【题2】如图,点A、B和线段CD都在数轴上,点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12;
线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动,移动时间为t秒。
(1)当t=0秒时,AC的长度为 ;
当t=2秒时,AC的长度为 ;
(2)用含有t的代数式表示AC的长为 .
(3)当t= 秒时,AC-BD=5,当t= 秒时AC+BD=15.
(4)若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动,点A的速度为每秒2个单位,在移动过程中,是否存在某一时刻使得AC=2BD,若存在,请求出t的值;
若不存在,请说明理由.
【题3】如图,E为线段AC上靠近点A的三等分点,B、D为线段EC上的两点,且满足CD=2BD。
(1)若DE=6cm,求线段AB的长;
(3)若AC=15cm,EB=4cm,动点P从A点、动点Q从D点同时出发,分别以3cm/s、1cm/s的速度沿直线AC向右运动,是否存在某个时刻,使得BP+CQ=AB成立?
若存在,求此时PQ的长度;
【题4】如图,数轴上线段AB=2,CD=4,点A在数轴上表示的数是10,点C在数轴上表示的数是16。
若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动。
(1)运动多少时,BC=8?
BD-AP
(2)P是线段AB上一点,当B点运动到线段CD上时,是否存在关系式=3,若存在,求线段
PC
PD的长;
若不存在,请说明理由。