机器人导论第一次作业Word文档下载推荐.docx
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(2)首先让F绕基坐标系的y轴旋转90°
,然后沿基坐标系的x轴平移20。
求变换所得的新坐标系F¢
。
(3)确定表示同一点但由坐标系F¢
描述的矢量u¢
(4)作图表示u,v,u¢
F和F¢
之间的关系。
é
3ù
0 -1 0 10ù
2ú
ú
①:
因为u=ê
ú
2
û
ê
1 0 0 20ú
ú
其所在连体坐标系为F=ê
0 0 1 1
û
0 0 0 1ú
因此,由左边变换可
é
é
8ù
ê
ê
23ú
得:
v=Fu=ê
×
=ê
0 0 1 1ú
ê
3ú
0 0 0 1 1 1
ë
ë
②:
由于F是基于基坐标系的变换,由“右乘联体左乘基”可得:
F¢
=trans(20,0,0)R(Y,90°
)F
1 0 0 20ù
é
0 0 1 0ù
0 1 0 0ú
0 1 0 0ú
=ê
û
0 0 1 0ú
-1 0 0 0ú
ë
0
0 0 1 21ù
0 0 1û
0 0 1ú
③:
根据左边变换公式v=Fu=F¢
u¢
得:
=F¢
-1v
因此:
3ù
13ú
-13ú
1ú
1ú
④:
zA
zF
yF(zF’)
yA
xA
P
xF
xF’
yF’
2、已知其次变换矩阵
0 1
0 0
H=ê
-1 0
0
0 0ù
-1 ú
0 0ú
0 û
要求Rot(f,q)=H,确定f和q的值。
已知齐次变换矩阵
0 1 0 0ù
0 0 -1 0ú
Rot(f,q)=ê
,
0 0 0 1ú
可知:
n+o+a=(f2+f2+f2)versq+3cq
x y z x y z
=1+2cq=0
得cq=- ,因此sq=±
3。
由于0£
q£
180o得:
q=120o,sq= 3
2 2
3
ì
f=(o-a) = é
ù
ï
x z y 3 ê
3ú
fxù
ï
由f=ê
fyú
,且í
fy=(ax-nz)
= ,得f=ê
3 3
fú
zû
3ú
fx=(ny-ox) =-
î
3
-3ú
3、矢量Q绕矢量f旋转q角,产生新的矢量Q¢
,即Q¢
=Rot(f,q)Q。
求证:
Q¢
=Qcq+sq(f´
Q)+(1-cq)[Q-(f´
Q)´
f]根据通用旋转变换的齐次变换阵,经过
化简可得:
(1-cq)(fxfxQx+fxfyQy+fxfzQz)+cqQx+sq(fyQz-fzQy)ù
(1-cq)(ffQ+ffQ+ffQ)+cqQ+sq(fQ-fQ)ú
Rot(f,q)Q=ê
xyx yyy yzz y zx xzú
(1-cq)(fxfzQx+fzfyQy+fzfzQz)+cqQz+sq(fxQy-fyQx)ú
1 ú
f]
cqQx+sq(fyQz-fzQy)+(1-cq)(Qx-fyfyQx-fzfzQx+fxfyQy+fxfzQz)ù
cqQ+sq(fQ-fQ)+(1-cq)(Q-ffQ-ffQ+ffQ+ffQ)ú
y zx xz y xxy zzy xyx yzzú
cqQz+sq(fxQy-fyQx)+(1-cq)(Qz-fyfyQz-fxfxQz+fxfzQx+fzfyQy)ú
x y z
由(f2+f2+f2)=1可得:
Qx-fyfyQx-fzfzQx+fxfyQy+fxfzQz
=Qx(1-fyfy-fzfz)+fxfyQy+fxfzQz
=fxfxQx+fxfyQy+fxfzQz
即(Rot(f,q)Q)1=Q1¢
,同理(Rot(f,q)Q)2=Q2¢
,(Rot(f,q)Q)3=Q3¢
由上述证明可得Rot(f,q)Q=Q¢