直线与圆的方程复习讲义Word格式文档下载.docx

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0时，α为锐角．

又kPA＝＝－1，

kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.

又当0≤k≤1时，0≤α≤；

当－1≤k<

0时，≤α<

π.

故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π）．

思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞）；

当α＝时，斜率不存在；

当α∈时，斜率k∈（－∞，0）．

（1）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜率为（　　）

A.B．－C．－D.

（2）直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是（　　）

A.∪ B.∪

C. D.

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）依题意，设点P（a,1），Q（7，b），

则有，解得a＝－5，b＝－3，

从而可知直线l的斜率为＝－.

（2）由xcosα＋y＋2＝0得直线斜率k＝－cosα.

∵－1≤cosα≤1，∴－≤k≤.

设直线的倾斜角为θ，则－≤tanθ≤.

结合正切函数在∪上的图象可知，

0≤θ≤或≤θ<

题型二　求直线的方程

例2　根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点（－4,0），倾斜角的正弦值为；

（2）直线过点（－3,4），且在两坐标轴上的截距之和为12；

（3）直线过点（5,10），且到原点的距离为5.

解　

（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sinα＝（0<

α<

π），

从而cosα＝±

，则k＝tanα＝±

.

故所求直线方程为y＝±

（x＋4）．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

（2）由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，

又直线过点（－3,4），

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；

当斜率存在时，设其为k，

则所求直线方程为y－10＝k（x－5），

即kx－y＋（10－5k）＝0.

由点线距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；

若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

　已知点A（3,4），求满足下列条件的直线方程：

（1）经过点A且在两坐标轴上截距相等；

（2）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

解　

（1）设直线在x，y轴上的截距均为a.

①若a＝0，即直线过点（0,0）及（3,4）．

∴直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0.

②若a≠0，设所求直线的方程为＋＝1，

又点（3,4）在直线上，∴＋＝1，∴a＝7.

∴直线的方程为x＋y－7＝0.

综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.

（2）由题意可知，所求直线的斜率为±

1.

又过点（3,4），由点斜式得y－4＝±

（x－3）．

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

题型三　直线方程的综合应用

例3　已知直线l过点P（3,2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

思维点拨　先设出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值．

解　方法一　设直线方程为＋＝1（a>

0，b>

0），

点P（3,2）代入得＋＝1≥2，得ab≥24，

从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.

方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<

0.

则直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k<

且有A，B（0,2－3k），

∴S△ABO＝（2－3k）

＝

≥

＝×

（12＋12）＝12.

当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．

即△ABO的面积的最小值为12.

故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.

思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法

（1）与函数相结合的问题：

解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决．

（2）与方程、不等式相结合的问题：

一般是利用方程、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在性问题，不等式的性质、基本不等式等）来解决．

　已知直线l：

kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程．

（1）证明　直线l的方程是k（x＋2）＋（1－y）＝0，

令解得

∴无论k取何值，直线总经过定点（－2,1）．

（2）解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k>

0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.

（3）解　由l的方程，得A，B（0,1＋2k）．

依题意得

解得k>

∵S＝·

|OA|·

|OB|＝·

·

|1＋2k|

＝·

≥×

（2×

2＋4）＝4，

“＝”成立的条件是k>

0且4k＝，即k＝，

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

求直线方程忽视零截距致误

典例：

（12分）设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）．

（1）若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；

（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

易错分析　本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况．

规范解答

解　

（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]

当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.

∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]

∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.[6分]

（2）将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，

∴或∴a≤－1.[10分]

综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分]

温馨提醒　

（1）在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．

（2）常见的与截距问题有关的易误点有：

“截距互为相反数”；

“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.

方法与技巧

直线的倾斜角和斜率的关系：

（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．

（2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α

0°

<

90°

180°

k

k>

不存在

k<

失误与防范

与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点

（1）明确直线方程各种形式的适用条件

点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；

两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；

截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．

（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．

（3）求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.

A组　专项基础训练

（时间：

45分钟）

1．若方程（2m2＋m－3）x＋（m2－m）y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是（　　）

A．m≠－ B．m≠0

C．m≠0且m≠1 D．m≠1

答案　D

解析　由　解得m＝1，

故m≠1时方程表示一条直线．

2．直线xsin＋ycos＝0的倾斜角α是（　　）

A．－ B.

解析　∵tanα＝－＝－tan＝tanπ，

∵α∈[0，π），∴α＝π.

3．直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A. B.

C.∪ D.∪

答案　B

解析　∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k<

0，则倾斜角的范围是.

4．两条直线l1：

－＝1和l2：

－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（　　）

答案　A

解析　化为截距式＋＝1，＋＝1.

假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．

5．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°

所得的直线的斜率为（　　）

A.B．－C．0D．1＋

解析　直线PQ的斜率为－，则直线PQ的倾斜角为120°

，所求直线的倾斜角为60°

，tan60°

＝.

6．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是__________．

答案　[－，0）∪

解析　当≤α<

时，≤tanα<

1，

∴≤k<

当≤α<

π时，－≤tanα<

∴k∈∪[－，0）．

7．直线l：

ax＋（a＋1）y＋2＝0的倾斜角大于45°

，则a的取值范围是________________．

答案　（－∞，－）∪（0，＋∞）

解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°

，符合要求；

当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>

1或－<

0即可，

解得－1<

a<

－或a<

－1或a>

综上可知，实数a的取值范围是（－∞，－）∪（0，＋∞）．

8．若ab>

0，且A（a,0）、B（0，b）、C（－2，－2）三点共线，则ab的最小值为________．

答案　16

解析　根据A（a,0）、B（0，b）确定直线的方程为＋＝1，又C（－2，－2）在该直线上，故＋＝1，

所以－2（a＋b）＝ab.又ab>

0，故a<

0，b<

根据基本不等式ab＝－2（a＋b）≥4，从而≤0（舍去）或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号．即ab的最小值为16.

9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过定点A（－3,4）；

（2）斜率为.

解　

（1）设直线l的方程是y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，

由已知，得（3k＋4）＝±

6，

解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是

y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·

b|＝6，∴b＝±

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.