随机过程习题和答案Word文档格式.doc

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2.1

2.2设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为

试证明为宽平稳过程。

（1）

与无关

（2）

，

所以

（3）

只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3

2.4

2.5

3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？

在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）

解：

令表示时间内的体检人数，则为参数为30的poisson过程。

以小时为单位。

则。

。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为，，当1路公共汽车有人乘坐后出发；

2路公共汽车在有人乘坐后出发。

设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求

（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；

（2）当=，=时，计算上述概率。

法一：

（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为、的poisson过程，令它们为、。

表示=的发生时刻，表示=的发生时刻。

（2）当=、=时，

法二：

（1）乘车到来的人数可以看作参数为+的泊松过程。

令、分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。

则、分别服从参数为、的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。

故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-

上面的概率可以理解为：

在乘客到来的人数为强度+的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1，以的概率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，那么有：

（2）当=、=时

3.3设，是个相互独立的Poisson过程，参数分别为。

记为全部个过程中，第一个事件发生的时刻。

（1）求的分布；

（2）证明是Poisson过程，参数为；

（3）求当个过程中，只有一个事件发生时，它是属于的概率。

（1）记第个过程中第一次事件发生的时刻为，。

由服从指数分布，有

（2）方法一：

由为相互独立的poisson过程，对于。

这里利用了公式

所以是参数为的poisson过程。

方法二：

当时，

得证。

3.4证明poisson过程分解定理：

对于参数为的poisson过程，，，，可分解为个相互独立的poisson过程，参数分别为，。

对过程，设每次事件发生时，有个人对此以概率进行记录，且，同时事件的发生与被记录之间相互独立，个人的行为也相互独立，以表示为到t时刻第i个人所记录的数目。

现在来证明是参数为的poisson过程。

独立性证明：

考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录，

一个以概率，一个以概率记录，则是参数为的poisson过程，是参数为的poisson过程。

3.5设是参数为3的poisson过程，试求

（1）；

（2）；

（2）

3.6对于poisson过程，证明时，

3.7设和分别是参数为，的Poisson过程，另，问是否为Poisson过程，为什么？

不是

，的一维特征函数为：

参数为的Poisson过程的特征函数的形式为，所以不是poisson过程。

3.8计算，，的联合分布

3.9对，计算。

3.10设某医院专家门诊，从早上8:

00开始就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。

则8:

00到12:

00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。

从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程（以小时为单位）。

则在小时内接受治疗的患者平均停留时间为：

当ｔ＝４时，平均等待停留时间为２ｈ。

３.11是强度函数为的非齐次Poisson过程，是事件发生之间的间隔时间，问：

（1）诸是否独立?

（2）诸是否同分布？

（1）。

从上面看出、不独立。

以此类推，不独立。

（2）；

分布不同。

3.12设每天过某路口的车辆数为：

早上7:

008:

00,11:

0012:

00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。

则早上7:

3011:

20平均有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数超过500辆的概率是多少？

（1）记时刻7:

00为时刻0，以小时为单位。

经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下：

则在7：

30~11：

20时间内，即时，代表这段时间内通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson分布。

即：

，在给定的时间内平均通过的车辆数为280。

（2）。

3.13[0,t]时间内某系统受到冲击的次数，形成参数为的poisson过程。

每次冲击造成的损害，独立同指数分布，均值为。

设损害会积累，当损害超过一定极限A时，系统将终止运行。

以记系统运行的时间（寿命），试求系统的平均寿命。

在内某系统受到的总损害为一个复合poisson过程，其中。

系统的平均寿命为

14某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。

假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。

（1）试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；

（2）在已知时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？

设分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。

（1）由已知，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程；

故，为强度的泊松过程；

于是，

（5分）

（2）

（5分）

一般地，

故平均有女性顾客人（4分）

4.1

（1）对

（2）错当时，有可能小于t（3）错，

时，可能等于n。

4.2更新过程的来到间隔服从参数为的分布。

（1）试求的分布；

（2）试证。

（2）由强大数定律：

，以概率1成立。

，，

，。

则：

，故。

4.3对于Poisson过程证明定理4.1.

；

。

4.4设，，计算，，。

（2）

（3）

4.5一个过程有个状态，最初在状态1，停留时间为，离开1到达2停留时间为，再达到3，，最后从回到1，周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。

试求

设且为非格点分布。

记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n，经过n再回到

1，再到i-1这一过程记为关。

则有，。

设初始状态从1第一次到i需要时间。

则

。

4.6用交错更新过程原理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。

为t时刻剩余寿命，为t时刻年龄。

若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所

产生的，则表示

在时刻t部件所使用的年龄，而表示它的剩余寿命。

令，即表示两次相邻更新的时间间隔，我

们要计算，为此我们将一个开-关的循环对应于一

个更新区间，且若在t时刻的年龄小于或等于x，就说系统

在时刻t“开着”。

换言之，在两次相邻的时间为的时间

内，前x时间内系统“开着”，而其余时间“关着”。

那么若的分布非格点的，由定理4.10得到

同理:

4.7对t时刻最后一次更新取条件重新给出定理4.10的证明。

表示时刻t前的最后一次更新。

令

对最后一次更新取条件概率有：

；

为非负不增函数，且，则由关键更新定理得到：

4.8对延迟更新过程证明更新方程

，，。

令，从上面可以推出：

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