算法设计与分析教案Word下载.docx
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算法中的每一条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出。
⑸可行性：
算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。
1.1.3算法的描述方法
⑴自然语言
优点：
容易理解
缺点：
冗长、二义性
使用方法：
粗线条描述算法思想
注意事项：
避免写成自然段
欧几里德算法
N
开始
输入m和n
r=m%n
r=0
m=n；
n=r
输出n
结束
Y
⑶程序设计语言
能由计算机执行
抽象性差，对语言要求高
算法需要验证
将算法写成子函数
#include<
iostream.h>
intCommonFactor（intm,intn）
{
intr=m%n;
while（r!
=0）
{
m=n;
n=r;
r=m%n;
}
returnn;
}
voidmain（）
cout<
<
CommonFactor（63,54）<
endl;
⑷伪代码——算法语言
伪代码（Pseudocode）：
介于自然语言和程序设计语言之间的方法，它采用某一程序设计语言的基本语法，操作指令可以结合自然语言来设计。
表达能力强，抽象性强，容易理解
7±
2
1.r=m%n;
2.循环直到r等于0
2.1m=n;
2.2n=r;
2.3r=m%n;
3.输出n;
1.1.4算法设计的一般过程
1．理解问题
2．预测所有可能的输入
3.在精确解和近似解间做选择
4.确定适当的数据结构
5．算法设计技术
6．描述算法
7．跟踪算法
8．分析算法的效率
9．根据算法编写代码
1.2算法分析
算法分析（AlgorithmAnalysis）：
对算法所需要的两种计算机资源——时间和空间进行估算
时间复杂性（TimeComplexity）
空间复杂性（SpaceComplexity）
算法分析的目的：
设计算法——设计出复杂性尽可能低的算法
选择算法——在多种算法中选择其中复杂性最低者
时间复杂性分析的关键：
问题规模：
输入量的多少；
基本语句：
执行次数与整个算法的执行时间
成正比的语句
for（i=1;
i<
=n;
i++）
for（j=1;
j<
j++）
x++;
问题规模：
n
基本语句：
x++
1.2.1渐进符号
1.大O符号
定义1.1若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都有T（n）≤c×
f（n），则称T（n）=O（f（n））
n0
问题规模n
执行次数
n0之前的情况无关紧要
T（n）
c×
f（n）
2.大Ω符号
定义1.2若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都有T（n）≥c×
g（n），则称T（n）=Ω（g（n））
g（n）
3.Θ符号
定义1.3若存在三个正的常数c1、c2和n0，对于任意n≥n0都有c1×
f（n）≥T（n）≥c2×
f（n），则称T（n）=Θ（f（n））
c2×
c1×
例：
T（n）＝5n2＋8n＋1
当n≥1时，5n2＋8n＋1≤5n2＋8n＋n
＝5n2＋9n≤5n2＋9n2≤14n2＝O（n2）
当n≥1时，5n2＋8n＋1≥5n2＝Ω（n2）
∴当n≥1时，14n2≥5n2＋8n＋1≥5n2
则：
5n2＋8n＋1＝Θ（n2）
定理1.1若T（n）=amnm+am-1nm-1+…+a1n+a0（am>
0），则有T（n）=O（nm）且T（n）=Ω（nm），因此，有T（n）=Θ（nm）。
1.2.2最好、最坏和平均情况
在一维整型数组A[n]中顺序查找与给定值k相等的元素（假设该数组中有且仅有一个元素值为k）
intFind（intA[],intn）
{
for（i=0;
n;
if（A[i]==k）break;
returni;
}
结论：
如果问题规模相同，时间代价与输入数据有关，则需要分析最好情况、最坏情况、平均情况。
ü
最好情况：
出现概率较大时分析
最差情况：
实时系统
平均情况：
已知输入数据是如何分布的，
通常假设等概率分布
1.2.3非递归算法的分析
算法——非递归算法、递归算法
求数组最小值算法
intArrayMin（inta[],intn）
min=a[0];
for（i=1;
if（a[i]<
min）min=a[i];
returnmin;
非递归算法分析的一般步骤：
1.决定用哪个（或哪些）参数作为算法问题规模的度量
2.找出算法中的基本语句
3.检查基本语句的执行次数是否只依赖于问题规模
4.建立基本语句执行次数的求和表达式
5.用渐进符号表示这个求和表达式
v关键：
建立一个代表算法运行时间的求和表达式，然后用渐进符号表示这个求和表达式。
1.2.4递归算法的分析
关键：
根据递归过程建立递推关系式，然后求解这个递推关系式。
1.猜测技术:
对递推关系式估计一个上限，然后（用数学归纳法）证明它正确。
2.扩展递归技术
3.通用分治递推式
大小为n的原问题分成若干个大小为n/b的子问题，其中a个子问题需要求解，而cnk是合并各个子问题的解需要的工作量。
1.2.5算法的后验分析
算法的后验分析（Posteriori）也称算法的实验分析，它是一种事后计算的方法，通常需要将算法转换为对应的程序并上机运行。
一般步骤：
1.明确实验目的
2.决定度量算法效率的方法，为实验准备算法的程序实现
3.决定输入样本，生成实验数据
4.对输入样本运行算法对应的程序，记录得到的实验数据
5.分析得到的实验数据
表格法记录实验数据
散点图记录实验数据
执
行
次
数
或
时
间
第4章分治法
4.1概述
4.1.1分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。
更一般地说，将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。
如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。
启发式规则：
1.平衡子问题：
最好使子问题的规模大致相同。
也就是将一个问题划分成大小相等的k个子问题（通常k＝2），这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（Balancing）子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
2.独立子问题：
各子问题之间相互独立，这涉及到分治法的效率，如果各子问题不是独立的，则分治法需要重复地解公共的子问题。
分治法的典型情况
子问题1
的规模是n/2
子问题1的解
子问题2的解
子问题2
原问题的解
原问题
的规模是n
4.1.2分治法的求解过程
一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成：
（1）划分：
既然是分治，当然需要把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题，并尽量使这k个子问题的规模大致相同。
（2）求解子问题：
各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归处理也可以用循环来实现。
（3）合并：
把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。
分治法的一般过程
DivideConquer（P）
if（P的规模足够小）直接求解P;
分解为k个子问题P1,P2,…Pk;
for（i=1;
i<
=k;
i++）
yi=DivideConquer（Pi）;
returnMerge（y1,…,yk）;
计算an，应用分治技术得到如下计算方法：
34
32
81
31
9
3
分解问题
求解每个子问题
合并子问题的解
4.2递归
4.2.1递归的定义
递归就是子程序（或函数）直接调用自己或通过一系列调用语句间接调用自己，是一种描述问题和解决问题的基本方法。
递归有两个基本要素：
⑴边界条件：
确定递归到何时终止；
⑵递归模式：
大问题是如何分解为小问题的，确定递归体。
4.2.2递归函数的运行轨迹
在递归函数中，调用函数和被调用函数是同一个函数，需要注意的是递归函数的调用层次，如果把调用递归函数的主函数称为第0层，进入函数后，首次递归调用自身称为第1层调用；
从第i层递归调用自身称为第i+1层。
反之，退出第i+1层调用应该返回第i层。
采用图示方法描述递归函数的运行轨迹，从中可较直观地了解到各调用层次及其执行情况。
Hanio（3,A,B,C）
Hanio（2,A,C,B）
Hanio（1,A,B,C）
Move（A,C）
Move（A,B）
Hanio（1,C,A,B）
Move（C,B）
Hanio（2,B,A,C）
Hanio（1,B,C,A）
Move（B,C）
Move（B,A）
4.2.3递归函数的内部执行过程
一个递归函数的调用过程类似于多个函数的嵌套调用，只不过调用函数和被调用函数是同一个函数。
为了保证递归函数的正确
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