柏岑不等式选讲1.docx

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柏岑不等式选讲1

不等式选讲1

——绝对值不等式

1．绝对值三角不等式

（1）定理1：

若则且时取等号；

（2）性质：

（3）定理2：

若则，且时取等号.

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式与的解法：

不等式

或

且

（2）和型不等式的解法：

①②或

（3）型不等式的解法：

解法1.零点分段讨论法：

（分类讨论思想）

设将数轴分为三个部分，在每个部分上去掉绝对值号列出

不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

解法2.几何法：

（数形结合思想）

用的几何意义：

数轴上到点和距离之和大于全体.

即

解法3.图象法：

（函数与方程思想）

作出函数和的图象，结合图象求解．

类型1.含绝对值不等式的解法：

1.型不等式的解法：

例1.解不等式;例2.解不等式.

例3.解不等式例4.解不等式.

2.型的不等式解法：

解法1.零点分段讨论法：

设将数轴分为三个部分，在每个部分上去掉绝对值号列出

不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

解法2.几何法：

用的几何意义：

数轴上到点和距离之和大于全体.

即

解法3.图象法：

作出函数和的图象，结合图象求解．

例5.解不等式.例6.解不等式.

例7.解不等式例8.

例9.利用不等式的图形解不等式：

（1）;

（2）

类型3.绝对值不等式及其应用：

例10.【2014湖南】若关于的不等式的解集为则_____.

例11若不等式成立的一个充分条件是则实数的取值范围为_____．

例12.设关于的不等式若则不等式的解集为________；

若不等式的解集为，则的取值范围是________．

例13.【2016江西省三校联考】关于的不等式的解集为空集，则

实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

例14.【2014重庆】若不等式对任意实数恒成立，则实数

的取值范围是________．

例15.已知函数，若关于不等式的解集是，

则实数的取值范围是______．

例16.对于实数若则的最大值为________．

例17.【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考】已知函数．

（1）解不等式；

（2）若，且，求证：

．

例18.【2016兰州一中高三年级期中】设不等式的解集为

（1）证明：

;

（2）比较与的大小，并说明理由．

例19.【2016四川成都七中10月阶段考试】己知关于的不等式的解集为

（1）求实数的值；

（2）求的最大值．

例20.【2016衡水中学高三三调】设函数

（1）当时，解不等

式：

；

（2）若不等式的解集为，求的值.

例21．【2016辽宁省抚顺一中高三月考】已知函数.

（1）解不等

式；

（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.

例22.【2015西藏地区检测】设，

（1）求的解集；

（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

例23.【2016黑龙江牡丹江一中高三月考】已知函数,

（1）解不等

式；

（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.

解：

（1）当时，,即，∴；当时，,

例24.【2013福建】设不等式的解集为且

（1）求的

值；

（2）求函数的最小值．

例25.【2014辽宁卷】设函数记的解集

为的解集为

（1）求

（2）当时，证明：

例26.【2013新课标全国i】已知函数，

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设,且当时，求的取值范围．

例27.【2013高考新课标ii】设均为正数，且证明：

（1）

（2）．

例28.【2014高考新课标i】若，且.

（1）求的最小值；

（2）是否存在，使得？

并说明理由.

例29.【2014高考新课标ii】设函数=,

（1）证明：

（2）若，求的取值范围.

例30.【2015高考新课标2】设均为正数，且，证明：

（1）若，则；

（2）是的充要条件．

不等式选讲1

——绝对值不等式

1．绝对值三角不等式

（1）定理1：

若则且时取等号；

（2）性质：

（3）定理2：

若则，且时取等号.

2．绝对值不等式的解法

（1）含绝对值的不等式与的解法：

不等式

或

且

（2）和型不等式的解法：

①②或

（3）型不等式的解法：

解法1.零点分段讨论法：

（分类讨论思想）

设将数轴分为三个部分，在每个部分上去掉绝对值号列出

不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

解法2.几何法：

（数形结合思想）

用的几何意义：

数轴上到点和距离之和大于全体.

即

解法3.图象法：

（函数与方程思想）

作出函数和的图象，结合图象求解．

类型1.含绝对值不等式的解法：

1.型不等式的解法：

例1.解不等式;

例2.解不等式.

例3.解不等式

例4.解不等式.

2.型的不等式解法：

解法1.零点分段讨论法：

设将数轴分为三个部分，在每个部分上去掉绝对值号列出

不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

解法2.几何法：

用的几何意义：

数轴上到点和距离之和大于全体.

即

解法3.图象法：

作出函数和的图象，结合图象求解．

例5.解不等式.

例6.解不等式.

例7.解不等式

例8.

例9.利用不等式的图形解不等式：

（1）;

（2）

类型3.绝对值不等式及其应用：

例10.【2014湖南】若关于的不等式的解集为则_____.

解：

由题可得且⇒

例11若不等式成立的一个充分条件是则实数的取值范围为_____．

解：

得∵成立的一个充分条件是

∴且即

例12.设关于的不等式若则不等式的解集为________；

若不等式的解集为，则的取值范围是________．

解：

时，不等式化为：

或或

解得或或即故不等式的解集为

因为，又不等式的解集为，

则的取值范围是

例13.【2016江西省三校联考】关于的不等式的解集为空集，则

实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

解：

命题等价于，

例14.【2014重庆】若不等式对任意实数恒成立，则实数

的取值范围是________．

解：

，∴当时，取得最小值

从而解得

例15.已知函数，若关于不等式的解集是，

则实数的取值范围是______．

解：

，结合图象可知取得最小值

若恒成立，只需

结合绝对值的几何意义可得的取值范围是

例16.对于实数若则的最大值为________．

解：

例17.【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考】已知函数．

（1）解不等式；

（2）若，且，求证：

．

解：

（1）由题意，原不等式等价为，

令，不等式的解集是，

（2）要证，只需证，只需证，

而，从而原不等式成立．

例18.【2016兰州一中高三年级期中】设不等式的解集为

（1）证明：

;

（2）比较与的大小，并说明理由．

解：

（1）证明：

记,由，

解得，则.所以；

（2）由

（1）得.

因为，

所以，故.

例19.【2016四川成都七中10月阶段考试】己知关于的不等式的解集为

（1）求实数的值；

（2）求的最大值．

解：

（1）；

（2）

当时，所求最大值为

例20.【2016衡水中学高三三调】设函数

（1）当时，解不等

式：

；

（2）若不等式的解集为，求的值.

解：

（1）当时，函数，由可得：

①，或②．解①可得，解②可得，

故不等式的解集为．

（2）∵，连续函数在上是增函数，

由于的解集为，故，

当时，有，解得．

当时，则有，解得 ．

综上可得，当或时，的解集为．

例21.【2016辽宁省抚顺一中高三月考】已知函数.

（1）解不等

式；

（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.

解：

（1）①当时，，所以，

②当时，，所以为，

③当时，，所以，

综合①②③不等式的解集为.

（2）即，

由绝对值的几何意义，只需.

例22.【2015西藏地区检测】设，

（1）求的解集；

（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

解：

（1）由得：

或,或,解得.

所以的解集为.

（2）,

当且仅当时，取等号．

由不等式对任意实数恒成立，可得

解得：

或．故实数的取值范围是

例23.【2016黑龙江牡丹江一中高三月考】已知函数,

（1）解不等

式；

（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.

解：

（1）当时，,即，∴；当时，,

即,∴;当时，,即,∴

综上，.

（2）,函数的图像如图所示：

令，表示直线的纵截距，

当直线过点时，；∴当-，即时成立；

当，即时，令，得,

∴,即时成立，综上或.

例24.【2013福建】设不等式的解集为且

（1）求的

值；

（2）求函数的最小值．

解　

（1）∵∴且因此又从而

（2）由

（1）知，，又

当且仅当即时等号成立．故的最小值为.

例25.【2014辽宁卷】设函数记的解集

为的解集为

（1）求

（2）当时，证明：

解：

（1），由得

所以的解集为

（2）由得解得

因此故当时，

于是

例26.【2013新课标全国i】已知函数，

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设,且当时，求的取值范围．

解：

（1）当时，不等式化为

设函数，则

如图，由图象可知，当且仅当时，.

所以，原不等式的解集是

（2）当时，不等式化为

所以对都成立，应有，则

从而实数的取值范围是

例27.【2013高考新课标ii】设均为正数，且证明：

（1）

（2）．

解：

（1）由得：

由题设得：

（2）

即

故

例28.【2014高考新课标i】若，且.

（1）求的最小值；

（2）是否存在，使得？

并说明理由.

解：

（1）由，得，且当时取等号．

故，且当时取等号．所以的最小值为．

（2）由

（1）知，，从而不存在，使得．

例29.【2014高考新课标ii】设函数=,

（1）证明：

（2）若，求的取值范围.

解：

（1）由，有.

（2）

当时，=，由得

当时，=，由得

综上，的取值范围是

例30.【2015高考新课标2】设均为正数，且，证明：

（1）若，则；

（2）是的充要条件．

解：

（1）

由题设，得

（2）①若，则

，由

（1）得：

；

②由，则

，于是

综上是的充要条件．