振动力学参考答案Word文件下载.docx
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q＝ha
2F＝mg
由动量矩定理：
其中
2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。
悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。
k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。
k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。
即为
，，
2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
其中、和是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。
（1）
（2）
（3）
（4）
2-5如题2-5图所示，质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
此系统是一个保守系统，能量守恒
系统的动能为：
系统的势能为：
总能量
由于能量守恒
消去得系统的运动方程为：
系统的固有频率为：
2-6如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为，求系统的固有频率。
设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为。
很小，系统的动能为
所以，
取系统平衡位置为势能零点。
设各弹簧在静平衡位置伸长为，由
，（A）
由题意可知，系统势能为
（B）
将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，
由，
得
所以，有
2-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64cm减至0.16cm，求阻尼系数c。
振动衰减曲线得包络方程为：
振动20个循环后，振幅比为：
代入,得：
又
＝
c=6.9Ns/m
O
j
XO
YO
FK
FC
，
2-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。
写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。
图
（1）为系统的静平衡位置，画受力图如
（2）。
由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：
当n＝pn时，c＝cC
2-9如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。
2-10如题2-10图所示，质量为2000kg的重物以3cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。
已知k=48020N/m，c=1960Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?
最大振幅是多少?
以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为
所以有++x=0
其特征方程为：
+r+=0r=-0.494.875i
所以：
x=cos4.875t+sin4.875t
由于n<
pn，由已知条件，
，，，m/s。
故通解为
其中，。
（代入初始条件，当t=0时，x=0,=0
当t=0时，=0,=0.006
x=0.006sin4.875t
=0.006（-0.49）sin4.875t+0.0064.875cos4.875
当=0时，振幅最大，此时t=0.03s。
当 t=0.03s时，x=0.005m）
代入初始条件，得
，得
物体达到最大振幅时，有
既得t=0.30s时，物体最大振幅为
cm
2-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为，求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。
，，；
三个方程联立，解得：
习题与综合训练第二章
2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值，若质量块受激振力N的作用，求系统的稳态响应。
由题意，可求出系统的运动微分方程为
得到稳态解
其中
由
又
有
所以 x＝1.103cos（3t－51°
27¢
）
2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s时，系统发生共振；
给质量块增加1kg的质量后重新试验，测得共振频率rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
设原系统的质量为m，弹簧常数为k
由 ，共振时
所以 ①
又由当
②
①与②联立解出
m＝20.69kg
k＝744.84N/m
2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
列出平衡方程可得：
又因为
即为所求的振幅
2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力，弹簧支承端有运动，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。
题2-4图
选时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，
则即
即（*）改成，下面也都一样
利用复数求解，用代换sinwt并设方程（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。
代入方程（*）得
其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有
。
其中
2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力，求质量块的振幅。
题2-5图
设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，
（A）
由图
（1）和图
（2）的受力分析，得到
（B）
（C）
联立解得，
所以，n=0，得，
2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶
（1）系统发生共振；
（2）等于固有频率的一半。
B
P0sinwt
A
XA
YA
题2-6图
图
（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图
（2）
又I＝ml2
则
1）系统共振，即
2）
2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。
题2-7图
以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理
即
令，，，，，得到
2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。
机器有一偏心重，产生偏心激振力N，其中是激励频率，g是重力加速度。
求
（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；
（2）机器的振幅。
设系统在平衡位置有位移，
则
即
又有则
（1）
所以机器的振幅为
（2）且，（3）
又有（4）
将
（1）
（2）（4）代入
（2）得机器的振幅=0.584mm
则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B=5cm，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。
2-10证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为
证明
2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在时振幅达最大值。
证明：
设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量
为与材料有关的常数与频率无关，则等效粘性阻尼系数
由于振幅
所以，
其中，
对求导得，
当时，，振幅B达到最大值
2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知，求系统响应。
题2-12图
由图得激振力方程为
当0<
t<
t1时，，则有
由于，所以有
当t1<
t2时，，则有
当t<
+0
2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度，初始条件为，求质量m的相对位移。
题2-13图
由牛顿定律，可得系统的微分方程为
令，则有
得到系统的激振力为，，可得响应为
其中，，。
2-14上题系统中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。
系统振动的微分方程为
即
基础有阶跃位移,故=0=，则有
2-15求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。
题2-15图
当t<
2-16零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力作用，求系统响应。
题2-16图
+0
运动微分方程为
当时，
当时，算法同上，所以有
+0
系统响应为
2-17零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正弦脉冲作用，若，求系统响应。
题2-17图
当t>
2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力的响应，已知。
题2-18图
2
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