组合数学-课后答案Word格式文档下载.doc

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（偶数，偶数）；

（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数=偶数；

偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：

存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？

根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

2.5一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？

根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+1=77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

2.6证明：

在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。

（书上例题2.1.3）

对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：

0，1，2，…，2n-2，2n-1。

而现在有任意给定的n+2个整数，我们需要构造n+1个盒子，即对上面2n个余数进行分组，共n+1组：

{0},{1，2n-1},{2，2n-2},{3,2n-3},…，{n-1,n+1}，{n}。

根据鸽巢原理，n+2个整数，必有两个整数除以2n落入上面n+1个盒子里中的一个，若是{0}或{n}则说明它们的和及差都能被2n整除；

若是剩下n-1组，因为一组有两个余数，余数相同则它们的差能被2n整除，不同则它们的和能被2n整除。

2.7一个网站在9天中被访问了1800次，证明：

存在连续的3天，这个网站的访问量超多600次。

设网站在9天中访问数分别为a1，a2，...，a9其中a1+a2+...+a9=1800，

令a1+a2+a3=b1，a4+a5+a6=b2，a7+a8+a9=b3

因为（b1+b2+b3）/3>

=600由推论2.2.2知，b1，b2，b3中至少有一个数大于等于600。

所以存在有连续的三天，访问量大于等于600次。

2.8将一个矩形分成5行41列的网格，每个格子涂1种颜色，有4种颜色可以选择，证明：

无论怎样涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

首先对一列而言，因为有5行，只有4只颜色选择，根据鸽巢原理，则必有两个单元格的颜色相同。

另外，每列中两个单元格的不同位置组合有=10种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有10*4=40种情况。

而现在共有41列，根据鸽巢原理，无论怎样涂色，则必有两列相同，也就是必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子是同一颜色。

2.9将一个矩形分成（m+1）行列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以选择，证明：

无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

（1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。

（2）每列中两个单元格的不同位置组合有种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有种情况

（3）现在有列，根据鸽巢原理，必有两列相同。

证明结论成立。

2.10一名实验员在50天里每天至少做一次实验，而实验总次数不超过75。

证明一定存在连续的若干天，她正好做了24次实验。

令b1，b2，...，b50分别为这50天中他每天的实验数，并做部分和

a1=b1，a2=b1+b2，。

。

a50=b1+b2+...+b50.

由题，bi>

=1（1<

=i<

=50）且a50<

=75

所以1<

=a1<

a2<

a3<

…<

a50<

=75（*）

考虑数列a1，a2，...，a50，a1+24，a2+24，a50+24，它们都在1与75+24=99之间。

由鸽巢原理知，其中必有两项相等。

由（*）知，a1，a2，...，a50互不相等，从而a1+24，...a50+24也互不相等，所以一定存在1<

j<

=50,使得aj=ai+24，即24=aj-ai=（b1+b2+b3+…+bi+…+bj）-（b1+b2+…+bi）=

所以从第i+1天到第j天这连续j-i天中，她正好做了24次实验。

2.11证明：

从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。

将S划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{595,597,599}共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.

2.12证明：

从1~200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。

设这70个数为

a1,a2,…,a70,

a1+4,a2+4,…,a70+4,

a1+9,a2+9,…,a70+9,

取值范围209，共210个数

2.13证明：

对于任意大于等于2的正整数n，都有R（2,n）=n。

2.13证明：

要证R（2，n）=n，用红蓝两色涂色Kn的边。

当n=2时，R（2,2）=2，因为不管用红还是蓝色都是完全二边形。

假设当n=k时成立，即存在R（2,k）=k（没有一条红边，只有蓝边），

当n=k+1时，R（2，k+1）

若无红边，要想有完全k+1边形，必得有k+1个点，即R（2，k+1）=k+1。

习题三

3.1有10名大学生被通知参加用人单位的面试，如果5个人被安排在上午面试，5个人被安排在下午面试，则有多少种不同的安排面试的顺序？

解：

上午的5个人全排列为5！

下午的5个人全排列为5！

所以有，共14400种不同的安排方法。

3.2某个单位内部的电话号码是4位数字，如果要求数字不能重复，那么最多可有多少个号码？

如果第一位数字不能是0，那么最多能有多少个电话号码？

由于数字不能重复，0-9共10个数字，所以最多有10*9*8*7=5040种号码；

若第一位不能是0，则最多有9*9*8*7=4536种号码。

3.318名排球运动员被分成A,B,C三个组，使得每组有6名运动员，那么有多少种分法？

如果是分成三个组（不可区别），使得每组仍有6名运动员，那么有多少种分法？

1）种

2）/3!

3.4教室有两排，每排8个座位。

现有学生14人，其中的5个人总坐在前排，4个人总坐在后排，求有多少种方法将学生安排在座位上？

前排8个座位，5人固定，共种方法；

后排8个座位，4人固定，共种方法；

前排和后排还剩7个座位，由剩下的5人挑选5个座位，共种方法；

则一共有种安排方法。

3.5将英文字母表中的26个字母排序，要求任意两个元音字母不能相邻，则有多少种排序方法？

先排21个辅音字母，共有21！

再将5个元音插入到22个空隙中，

故所求为

（插入法）

3.6有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐，要求男女交替就坐，则有多少种不同的排坐方式？

6男全排列6!

；

6女全排列6！

6女插入6男的前6个空或者后6个空，即女打头或男打头6!

*6!

*2；

再除以围圈重复得（6!

*2）/12=6!

*5!

或

男6的圆排列为5！

，对每个男的排列，女要在他们之间的6个位置，进行线性排列6！

（而不是5！

）。

（圆排列可以通过线性排列来解决）

3.715个人围坐一个圆桌开会，如果先生A拒绝和先生B和C相邻，那么有多少种排坐方式？

15人圆排列14！

A与B相邻有2*14!

/14=2*13!

A与C相邻有2*14!

A与BC同时相邻有2*13!

/13=2*12!

于是A不与B、C相邻的坐法共14!

-2*13!

+2*12!

（用到了容斥原理）

3.8确定多重集的11-排列数？

M的11排列=[M-{a}]的11排列+[M-{b}]的11排列+[M-{c}]的11排列，即=27720

当然了，容斥原理，生成函数也可以做。

3.9求方程，满足的整数解的个数。

令

则有，由定理3.3.3，解个数为：

3.10书架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？

n=20，r=4，

证明见38页。

若卷号差为2，3，。

，公式为？

3.11确定（2x-3y）5展开式中x4y和x2y4的系数。

1）：

，系数为-240

2）：

系数为0。

3.12确定（1+x）-5展开式中x4的系数。

，n=5，r=4，则系数为

3.13确定（x+2y+3z）8展开式中x4y2x2的系数。

3.14证明组合等式：

，其中n,k为正整数。

右边是（n+k+1）元集合上k个元素子集的个数，这些子集可分为以下k+1类：

第1类：

k元子集中不含a1的子集有个;

第2类：

k元子集中含a1而不含a2的子集是个;

第3类：

k元子集中含a1和a2，而不含a3的子集是

……

第k+1类：

k元子集中含a1，a2，……,ak，而不含ak+1的子集是

由加法原理得证。

根据组合意义进行证明

3.15利用，求。

首先有：

（p51的（3））

根据已知条件代入以上等式得：

又由

得，

则原式

3.16在一局排球比赛中，双方最终的比分是25:

11，在比赛过程中没有出现5平的比分，求有多少种可能的比分记录？

根据题意，相当于求从点（0,0）到点（25,11）且不经过（5,5）的非降路径数，即为：

3.17 在一局乒乓球比赛中，运动员甲以11:

7战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后过，求有多少种可能的比分记录？

根据题意，相当于求从点（0,0）到点（11,7）且从下方不穿过y=x的非降路径数，见58页，即为：

3.18把20个苹果和20个橘子一次一个的分发给40个幼儿园的小朋友，如果要求分发过程中任意时刻篮子中余下的两种水果数目都不相同（开始和结束时除外），求有多少种分法方法？

根据题意，相当于求从点（0,0）到点（20,20）且不接触y=x的非降路径数，即为：

n=20，则方法数为：

3.18计算和。

1）

一个递推公式，

2）

3.19

（1）证明S（n,3