2020-2021学年湖北省高一(下)期末数学试卷(附答案详解)Word文档格式.docx

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5.设α，β为空间内两个不同的平面，l为空间内的一条直线，则下列命题为真命题的是（    ）

A.若α//β，l⊥β，则l//α B.若l//α，α⊥β，则l⊥β

C.若l⊥β，α⊥β，则l//α D.若l//α，l⊥β，则α⊥β

6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=π6，a=3，c=7，则△ABC的面积为（    ）

A.3 B.23 C.34 D.32

7.已知a，b是不共线的向量，MN=7a+b，PN=2λa−2b，PQ=a+b，若M，N，Q三点共线，则实数λ的值为（    ）

A.−10 B.10 C.−5 D.5

8.某宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示．为了测量宝塔的高度CD，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房AB作为参照物，楼房高为10（3−1）m，在楼顶A处测得地面点M处的俯角为15°

，宝塔顶端C处的仰角为30°

，在M处测得宝塔顶端C处的仰角为60°

，其中B，M，D在一条直线上，则该宝塔的高度CD=（    ）

A.403m B.303m C.203m D.103m

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.下列叙述正确的是（    ）

A.抽样调查具有花费少、效率高的特点

B.数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9

C.数据8，9，12，13，15，16，18，20的25%分位数为10.5

D.若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数和方差都发生变化

10.下列命题是真命题的是（    ）

A.若复数z=m+ni（m,n∈R）为纯虚数，则m≠0，n≠0

B.若复数z=m+ni（m,n∈R）为虚数，则n≠0

C.若复数z=−1−i，则z对应的平面向量为OZ=（−1,−1）

D.若复数z满足z2∈R，则z的实部与虚部至少有一个为0

11.已知平面四边形ABCD，O是ABCD所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（    ）

A.若AB=DC，则ABCD是平行四边形

B.若|AB+AD|=|AB−AD|，则ABCD是矩形

C.若|OA−OB|=|OA+OB−2OC|，则△ABC为直角三角形

D.若动点P满足OP=OA+m（AB|AB|sin∠ABC+AC|AC|sin∠ACB）（m>

0），则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心

12.如图1，正方形ABCD的边长为2，点E为CD的中点，将△DAE沿AE所在直线进行翻折，得到四棱锥S−ABCE，如图2，则在翻折的过程中，下列命题正确的是（    ）

A.点S在某个圆上运动

B.存在某一翻折位置使得AE//平面SBC

C.存在某一翻折位置使得SA⊥平面SBC

D.当二面角S−AE−B的平面角为2π3时，四棱锥S−ABCE的高为155

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知某工厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的螺帽，且这三种型号螺帽的周产量之比为2：

4：

5，现在用分层抽样的方法从某周生产的螺帽中抽取若干个进行质量检查，若抽取Ⅲ型号螺帽25个，则这三种型号螺帽共抽取的个数为______．

14.利用斜二测画法得到△ABC的直观图为△A′B′C′，若A′B′//y′轴，B′C′//x′轴，A′B′=B′C′=1，则△ABC的面积为______．

15.已知圆柱的高为2，侧面积为4π，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积为______．

16.已知点M是边长为4的正方形ABCD内部（包括边界）的一动点，点P是边CD的中点，则|MP|−|MB|的最大值是______；

MP⋅（MA+MB）的最小值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.质检员为了检测某批1000件产品的质量，随机抽取了100件，检测这些产品的质量指标值（单位：

g），依据检测结果将质量指标值按[75,85），[85,95），[95,105），[105,115），[115,125]分组，得到如下的频率分布直方图．

（1）求这100件产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（2）已知质量指标值在区间[85,115）内的为合格品，之外的为不合格品，一件合格品能获利50元，一件不合格品损失30元，试估计这批产品能获利多少元？

18.已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且z2=8+6i，z−是z的共轭复数．

（1）求复数z；

（2）若|m+−2+z−−2+z|<

3，求实数m的取值范围．

19.如图所示，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是矩形，BC=2，BE=CE=2．

（1）若平面CDE∩平面ABE=l，证明：

AB//l；

（2）若AC⊥BD，且四棱锥E−ABCD的体积为43，求四棱锥E−ABCD的侧面积．

20.如图，在三棱台AEB−DFC中，上底面AEB为等腰直角三角形，AE⊥EB，AE⊥EF，EF⊥FC，M在DF上，DM=MF=AE=12EF=1．

（1）证明：

平面ABM⊥平面DFC；

（2）求点D到平面BMC的距离．

21.如图，△ABC中，AB=2，BC=32，∠ABC=π4，BA=a，BC=b，点D，E满足BD=λBC，CE=λCA，λ∈（0,1），AD与BE交于点M．

（1）当λ=12时，请用a，b表示向量AM，并求AM⋅AB的值；

（2）用a，b表示向量BM．

22.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1tanB+1tanC=1tanA．

（1）求cosA的最小值；

（2）记△ABC的面积为S，点P是△ABC内一点，且∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，证明：

①tanA=4Sb2+c2−a2；

②tanA=2tanθ．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：

3−6ii=（3−6i）⋅（−i）−i2=−6−3i，

故选：

B．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

2.【答案】D

依据选取规则可得选取的5个样本编号为：

02，14，07，32，04，

所以选取的第5个个体编号为04，

D．

根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．

本题考查了随机数表的应用，属于基础题．

3.【答案】C

根据题意，向量a=（1,m），b=（2,4），

若a//b，则1×

4−2m=0，解得m=2，

故a+b=（3,6），所以|a+b|=32+62=35，

C．

根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得m的值，即可得a的坐标，求出a+b的坐标，计算可得答案．

本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行的判断，属于基础题．

4.【答案】D

对于选项A，由统计图，2020年全国新产业工人总量28560万人，约占2019年全国新产业工人总量的2856029007≈0.982，故A选项正确；

对于选项B，由统计图，2017年全国新产业工人增速最大，为1.7%，故B选项正确；

对于选项C，由统计图，2016−2019年全国新产业工人总量逐年增加，故C选项正确；

对于选项D，由统计图，2016−2020年全国新产业工人增速有增有减，故D选项错误；

根据统计图依次判断选项是否正确即可．

本题以2016−2020年新产业工人规模及增速统计图为背景，考查了学生读图、析图获取信息分析解决问题的能力．

5.【答案】D

直线l垂直于两平行平面α，β中的β，则l⊥α，故A不正确；

l//α，α⊥β，则l，β的位置关系不能确定，可能l//β，故B不正确；

l⊥β，α⊥β，则l，α的位置关系不确定，可能l⊂α，故C不正确；

由l//α可知在平面α内可作l′使得l′//l，则l′⊥β，从而α⊥β，故D正确．

由直线与平面垂直的性质判断A；

由直线与平面平行、平面与平面垂直分析直线与平面的关系判断B；

由直线与平面垂直、平面与平面垂直分析直线与平面的关系判断C；

由平面与平面垂直的判定判断D．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

6.【答案】A

因为C=π6，a=3，c=7，

所以由余弦定理可得（7）2=（3）2+b2−23bcosπ6，解得b=4或b=−1（舍去），

所以△ABC的面积为12absinC=12×

3×

4×

sinπ6=3．

A．

由已知利用余弦定理可解得b的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．

7.【答案】A

由PN=2λa−2b，PQ=a+b，可得QN=PN−PQ=2λa−2b−a−b=（2λ−1）a−3b，

因为M，N，Q三点共线，所以MN//QN，所以存在唯一的实数k，使得MN=kQN，

即7a+b=k（2λ−1）a−3kb，∴7=k（2λ−1）1=−3k，

解得k=−13，λ=−10．

把M，N，Q三点共线，转化为MN//QN，再利用两向量共线的等价条件，列出方程组即可求解．

本题考查了向量共线定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．

8.【答案】C

因为sin15°

=sin（45°

−30°

）=sin45°

cos30°

−cos45°

sin30°

=6−24，且AB=10（3−1）m，

所以AM=ABsin15∘=10（3−1）×

46−2=202m，

在△AMC中，易知∠ACM=30°

，

由正弦定理可得CM=AMsin45°

sin30∘=202×

2212=40m，

故CD=CMsin60°

=40×

32=203m．

由题意解三角形可求AM的值，在△AMC中，可求∠ACM=30°

，由正弦定理可得CM的值，进而可求CD=CM