最短路径问题将军饮马问题教学设计Word格式.docx

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重点:

利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：

如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

学情分析：

1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强,但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱,自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。

此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识,能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强.

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短.”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析：

在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；

进而利用PPT动画演示,实验验证了结论的一般性；

最后通过逻辑推理证明.

教具准备：

直尺、ppt

教学过程:

环节

教师活动

学生活动

设计意图

一

复

习

引

入

1。

【问题】：

看到图片,回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？

2。

这样的问题，我们称为“最短路径”问题。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

二

探

究

新

知

1.探究一:

【故事引入】：

唐朝诗人李颀在《古从军行》中写道：

“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．”诗中就隐含着一个有趣的数学问题,古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河.而将军的马每天要到河边喝水,那么问题来了，

问题：

怎样走才能使总路程最短呢？

认真读题，仔细思考。

将实际问题中的“地点"

“河”抽象为数学中的“点”“线"

把实际问题抽象线段和最小问题。

从异侧问题入手,由简到难,逐步深入.

探究二：

【变换情境】：

后来将军把家搬到了河的对面,若还是要带马先到河边喝水,然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？

（1）

【转化】:

你能将实际问题抽象为数学问题吗？

（2）

【展示】：

让学生猜想，并画出图形。

巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法.

给予学生一定的提示。

（3）

【度量】:

如何才能判断哪种猜想是正确的呢？

（测量一下）在几何画板中分别度量出AC,BC的长度，并计算AC+BC.让学生观察数值如何变化。

并反思各自的作法是否正确。

【回答】:

学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。

已知：

直线L和同侧两点A、B

求作：

直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小.

【学生展示】：

作法1：

作法2：

:

作法3：

【学生反思】：

第1种作法是利用“垂线段最短”,得到AC最短,利用“两点之间线段最短"

，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的.

第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等,也就是AC＝BC。

不能说明AC+BC最短

第3种作法应该是正确的.

学生主动探索，充分发挥学生的主动性.

展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望.

3.解决问题

【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的?

为什么要作对称点？

如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BC＝BC'

。

其实直线L上所有点到B和B’的距离都相等。

也可是根据垂直平分线的性质,L就是线段BB’的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题.借助轴对称,把折线转化为线段的长来求解。

让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。

让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。

（4）

【推理论证】：

如何证明AC+BC最短呢?

【提示】：

没有比较就不会产生大小。

通常我们要在直线上任另取一点C＇（与点C不重合），只要证明AC＇+BC＇>

AC+BC即可.

老师动手操作,验证结论的正确性。

（1）学生自主证明，教师纠错。

（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。

（3）共同完成证明过程.

认真观察,思考,要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C’（不与点C重合）

1.独立纠错

兵教兵

让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。

通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论.

三

发

散

思

维

除了作点B关于直线l的对称点以外,还有没有别的作法？

还可以作点A关于直线l的对称点。

发散思维，培养学生一题多解的能力。

四

得

出

结

论

我们是如何解决将军饮马问题的？

先将实际问题转化为数学问题。

然后作其中一个点关于直线l的对称点,连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置.

让学生反思刚才的探究过程。

培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。

五变式巩固

如图，已知：

P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？

在具体问题中实践已有模型，固化已有模型.为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

六拓展提升

如图，一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问:

这位将军怎样走路程最短？

【问题】:

如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

七

巩

固

练

1.【题目】：

MON内两点A、B。

点C和点D，使得点C在OM上,点D在ON上,且AC+CD+BD+AB最短.

2.【题目】:

如图，如图,OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球,使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？

习题难度，由易到难,逐步深入.让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.

八

课

堂

小

本节课研究问题的基本过程是什么？

当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。

2.【问题】：

今天我们学习了最短路径的相关问题,我们应该怎么样找到它们的最短路径呢?

先确定对称轴，找出定点的对称点。

然后连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）.

我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想,从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里.

如何求解

培养学生总结在课题学习的基本思路.

九

后

拓

展

在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N，当M、N运动到何处时，BM+MN最短？

根据解题方法进行深度拓展（难度大）