大连市高三第一次模拟考试数学理科Word文件下载.docx
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的最小值为()
A.2B.
C.
5.已知数列
满足
A.9B15.C.18D.30
6.在平面内的动点
满足不等式
的最大值是()
A.6B.4C.2D.0
7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为()
A.4B.
8.将一枚硬币连续抛掷
次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于
A.4B.5C.6D.7
9.运行如图所示的程序框图,则输出结果为()
10.若方程
在
上有两个不相等的实数解
11.已知向量
,若
的取值范围是()
12.已知定义在
上的函数
,当
时,不等式
恒成立,则实数
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人,每人一张,且甲乙分得的电影票连号,则共有种不同的分法(用数字作答).
14.函数
的图象在点
处的切线方程是.
15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?
”如果此物数量在100至200之间,那么这个数是.
16.过双曲线
的焦点
且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于
两点,若
,则双曲线的离心率为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知点
为坐标原点,函数
.
(1)求函数
的最小值及此时
的值;
(2)若
为
的内角,
,求
的周长的最大值.
18.某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:
(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可);
(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取3名用户,求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.
19.如图,在四棱锥
中,底面
为正方形,
底面
为棱
中点.
(1)求证:
平面
;
中点,
,试确定
的值,使二面角
的余弦值为
20.已知点
是长轴长为
的椭圆
:
上异于顶点的一个动点,
为坐标原点,
为椭圆的右顶点,点
为线段
的中点,且直线
与
的斜率之积恒为
(1)求椭圆
的方程;
(2)设过左焦点
且不与坐标轴垂直的直线
交椭圆于
两点,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,点
横坐标的取值范围是
的最小值.
21.已知函数
(1)若
是
的单调递增函数,求实数
的取值范围;
(2)当
时,求证:
函数
有最小值,并求函数
最小值的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系
中,以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求曲线
的直角坐标方程及直线
的普通方程;
(2)若曲线
为参数),曲线
上点
的极角为
为曲线
上的动点,求
的中点
到直线
距离的最大值.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知
,函数
的最小值为1.
恒成立,求实数
的最大值.
数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题
(1)A;
(2)D;
(3)A;
(4)D;
(5)C;
(6)A;
(7)D;
(8)A;
(9)B;
(10)C;
(11)B;
(12)D.
二.填空题
(13)48;
(14)
(15)
(16)
.
三.解答题
(17)
解:
(I)∵
∴
∴当
时,
取得最小值2.
(2)∵
,∴
,
又∵
.
,.
,当且仅当
取等号,
∴三角形周长最大值为
.
(18)
(Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图:
由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大.
(Ⅱ)运用分层抽样从男性用户中抽取
名用户,评分不低于
分有
人,其中评分小于
分的人数为
,从
人人任取
人,记评分小于
取值为
所以
的分布列为
或
(19)
(I)证明:
∵
又∵底面
为矩形,∴
,又
中点,∴
.
(II)以
为原点,以
轴正方向,建立空间直角坐标系
,令
则
,
设平面
的法向量
,即
即
,解得
(20)
(Ⅰ)∵椭圆
的长轴长为
设
∵直线
故椭圆的方程为
(Ⅱ)设直线
方程为
,代入
有
,
中点
的垂直平分线方程为
令
,得
(21)
(Ⅰ)
∵函数
在区间
上单调递增,
.∴
(Ⅱ)
∴
由(Ⅰ)知
上单调递减,
,且
的最小值的取值范围是
(22)
(Ⅰ)由
直角坐标为
到
的距离
从而最大值为
.
(23)
(Ⅰ)法一:
且
时取等号,即
的最小值为
法二:
显然
(Ⅱ)∵
恒成立,
恒成立,
当
取得最小值
,即实数
的最大值为