湖南省长沙市一中届高三第七次月考数学理试题Word版含答案Word格式.docx

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5.已知

是定义在

上的偶函数，

在

上是增函数，且

，则不等式

的解集为（）

6.已知关于

的二项式

展开式的二项式系数之和为

，常数项为

的值为（）

7.已知四凌锥的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图均是边长为

的正方形，则该四凌锥的外接球体积是（）

8.若下图程序框图在输入

时运行的结果为

，点

为抛物线

上的一个动点，设点

到此抛物线的准线的距离为

，到直线

的距离为

的最小值是（）

9.已知函数

（

均为正的常数）的最小正周期为

，当

时，函数

取得最小值，则下列结论正确的是（）

C.

10.过抛物线

：

的焦点

的直线

（倾斜角为锐角）交抛物线于

两点，若

为线段

的中点，连接

并延长交抛物线

于点

，已知

，则直线

的斜率是（）

11.已知

，若关于

的方程

恰好有

个不相等的实数解，则实数

的取值范围为（）

12.已知正偶数数列按照蛇形排列，形成如图所示矩形数表，在数表中位于第

行，第

列的数记为

，比如

，若

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．命题“

，使

”是假命题，则实数

的取值范围为___________.

14.已知

若

的最小值为__________.

15.已知不等式组

表示的平面区域为

，若直线

与平面区域

有公共点，则实数

的取值范围是____________.

16.已知

为双曲线

的左、右焦点，过

与双曲线

的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交于

两点，且点

恰在

的中垂线上，则双曲线

的渐近线方程为____________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在

中，内角

、

的对边分别为

.已知

（1）求

的大小；

（2）若

，求边

的值.

18.2018年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施.其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目.市政府相关部门根据交通拥堵情况制定了“市区公交站点重新布局方案”，现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为：

①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；

②采用百分制评分，

内认定为满意，不低于

分认定为非常满意；

③市民对公交站点布局的满意率不低于

即可启用该“方案”；

④用样本的频率代替概率.

（1）从该市市民中随机抽取

人，求恰有

人非常满意该“方案”的概率；

并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”，说明理由；

（2）已知在评分低于

分的被调查者中，老年人占

，现从评分低于

分的被调查者中按年龄分层抽取

人以便了解不满意的原因，并从中抽取

人担任群众监督员，记

为群众监督员中老年人的人数，求随机变量

的分布列及其数学期望

.

19.如图，三棱柱

中，已知四边形

是菱形，

与

交于点

，且

（1）连接

，证明：

直线

平面

（2）求平面

和平面

所成的角（锐角）的余弦值.

20.已知椭圆

以

为左右焦点，且与直线

相切于点

（1）求椭圆的方程及点

的坐标；

（2）若直线

与椭圆交于

两点，且

交

（异于点

），求证：

线段长

成等比数列.

21.已知函数

（1）已知函数

有两个极值点，求

的取值范围；

（2）设

和

的两个极值点（其中

）.若

，求的最大值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所

做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

以坐标原点

为极点，以

轴正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线

的极坐标方程为

，曲线

（1）请分别写出直线

与曲线

的直角坐标方程；

（2）已知直线

交于

两点，设

，求实数的值.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数

的解集为

的值；

为正数，且

求证

炎德·

英才大联考长沙市一中2018届高三月考试卷（七）

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

ACCCA6-10:

CDBBB11、12：

C、D

二、填空题

13.

14.

15.

16.

三、解答题

17.17.

（1）在

中，由

知，

因为

所以

，所以

（2）由

（1）可知，

，由正弦定理得

联立方程

解得

18.根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是

用样本的频率代表概率，则从该市的全体市民中随机抽取

人，

该人非常满意“方案”的概率为

现从中抽取

人恰有

人非常满意该“方案”的概率为：

；

根据题意：

分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，

评分在

的频率为：

根据相关规则该市应启用该方案.

（2）因为评分低于

又从被调查者中按年龄分层抽取

所以这

人中，老年人有

人，非老年人有

随机变量

的所有可能取值为

的分布列为

的数学期望

19.

（1）因为平行四边形

是菱形，所以

是

的中点.

又因为

且

.又因为

为公共边，所以

，故

，从而

两两垂直.

（2）由

（1）可知，以

为坐标原点，

所在直线分别为

轴建立如图空间直角坐标系

则

，

两两垂直，所以

是平面

的一个法向量；

设

的一个法向量，则

，即

令

，得

所以平面

所成的角（锐角）的余弦值为

20.

（1）由题意，设椭圆方程为

，联立椭圆和直线

消去

得

化简得

，由

，所以椭圆方程为

将

代回原方程组，解得切点

的坐标为

（2）联立直线

点为

由弦长公式

得，所以

，联立椭圆与直线

的方程，

，消去

所以，又，所以，，成等比数列.

21.

（1）函数

的定义域为

由题意得方程

有两个不相等的正根.

故

（2）由

（1）知，

是方程

的两根，

又

于是有

，由于函数

单调递增，所以

上单调递减，

的最大值是

22.

（1）直线

化为直角坐标方程

曲线

（2）因为点

在直线

上，

所以可取直线

的参数方程为

为参数）

设点

分别对应参数

将直线

的参数方程代入曲线

的直角坐标方程，并化简得

则有

或

23.

（1）

，则当

时，

当

（2）