高考理科数学真题北京卷含答案Word文档格式.docx
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(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
(7)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线
的距离,当θ,m变化时,d的最大值为
(A)1(B)2
(8)设集合
则
(A)对任意实数a,
(B)对任意实数a,(2,1)
(C)当且仅当a<
0时,(2,1)
(D)当且仅当
时,(2,1)
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)设
是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则
的通项公式为__________.
(10)在极坐标系中,直线
与圆
相切,则a=__________.
(11)设函数f(x)=
,若
对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.
(12)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y–x的最小值是__________.
(13)能说明“若f(x)>
f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.
(14)已知椭圆
,双曲线
.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;
双曲线N的离心率为__________.
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
在△ABC中,a=7,b=8,cosB=–
.(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
(16)(本小题14分)
如图,在三棱柱ABC-
中,
平面ABC,D,E,F,G分别为
,AC,
,
的中点,AB=BC=
,AC=
=2.
(Ⅰ)求证:
AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)证明:
直线FG与平面BCD相交.
(17)(本小题12分)
电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.1
好评率是指:
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“
”表示第k类电影得到人们喜欢,“
”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差
的大小关系.
(18)(本小题13分)
设函数
=[
]
.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,
)处的切线与
轴平行,求a;
(Ⅱ)若
在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
(19)(本小题14分)
已知抛物线C:
=2px经过点
(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.
(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;
(Ⅱ)设O为原点,
,求证:
为定值.
(20)(本小题14分)
设n为正整数,集合A=
.对于集合A中的任意元素
和
,记
M(
)=
(Ⅰ)当n=3时,若
,求M(
)和M(
)的值;
(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意元素
,当
相同时,M(
)是奇数;
当
不同时,M(
)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:
对于B中的任意两个不同的元素
)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
参考答案
一、选择题
1.A2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.D
二、填空题
9.
10.
11.
12.3
13.y=sinx(答案不唯一)14.
三、解答题
(15)(共13分)
解:
(Ⅰ)在△ABC中,∵cosB=–
,∴B∈(
,π),∴sinB=
由正弦定理得
=
,∴sinA=
∵B∈(
,π),∴A∈(0,
),∴∠A=
(Ⅱ)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=
如图所示,在△ABC中,∵sinC=
,∴h=
∴AC边上的高为
(16)(共14分)
(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵CC1⊥平面ABC,
∴四边形A1ACC1为矩形.
又E,F分别为AC,A1C1的中点,
∴AC⊥EF.
∵AB=BC.
∴AC⊥BE,
∴AC⊥平面BEF.
(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.
∵BE
平面ABC,∴EF⊥BE.
如图建立空间直角坐称系E-xyz.
由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).
∴
设平面BCD的法向量为
,∴
令a=2,则b=-1,c=-4,
∴平面BCD的法向量
又∵平面CDC1的法向量为
由图可得二面角B-CD-C1为钝角,所以二面角B-CD-C1的余弦值为
(Ⅲ)平面BCD的法向量为
,∵G(0,2,1),F(0,0,2),
与
不垂直,
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴GF与平面BCD相交.
(17)(共12分)
(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×
0.25=50.
故所求概率为
(Ⅱ)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.
故所求概率为P(
)=P(
)+P(
)
=P(A)(1–P(B))+(1–P(A))P(B).
由题意知:
P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25×
0.8+0.75×
0.2=0.35.
(Ⅲ)
>
(18)(共13分)
(Ⅰ)因为
所以f′(x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex(x∈R)
=[ax2–(2a+1)x+2]ex.
f′
(1)=(1–a)e.
由题设知f′
(1)=0,即(1–a)e=0,解得a=1.
此时f
(1)=3e≠0.
所以a的值为1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=(ax–1)(x–2)ex.
若a>
,则当x∈(
,2)时,f′(x)<
0;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>
0.
所以f(x)<
0在x=2处取得极小值.
若a≤
,则当x∈(0,2)时,x–2<
0,ax–1≤
x–1<
0,
所以f′(x)>
所以2不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是(
,+∞).
(19)(共14分)
(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),
所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
由题意可知直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).
由
得
依题意
,解得k<
0或0<
k<
1.
又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2).从而k≠-3.
所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由(I)知
直线PA的方程为y–2=
令x=0,得点M的纵坐标为
同理得点N的纵坐标为
所以
(20)(共14分)
(Ⅰ)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以
M(α,α)=
[(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2,
M(α,β)=
[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1.
(Ⅱ)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.
由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,
所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.
所以B
{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组:
(1,0,0,0),(1,1,1,0);
(0,1,0,0),(1,1,0,1);
(0,0,1,0),(1,0,1,1);
(0,0,0,1),(0,1,1,1).
经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以集合B中元素的个数不超过4.
又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,
所以集合B中元素个数的最大值为4.
(Ⅲ)设Sk=(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A,xk
=1,x1=x2=…=xk–1=0)(k=1,2,…,n),
Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0},
则A=S1∪S1∪…∪Sn+1.
对于Sk(k=1,2,…,n–1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.
所以Sk(k=1,2