数学建模正文乒乓球赛问题Word格式.docx
《数学建模正文乒乓球赛问题Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模正文乒乓球赛问题Word格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
对“五局三胜制”的乒乓球赛，我们进行了假设、分析、建
模、解模。
A队以ai次序出场、B队以bj次序出场时，设这时A队每一局比赛
获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举，比较双方的实力。
从矩阵中可知，A队以ai次序出场而B队以bj次序出场，则打满5局A队可胜 局，A、B两支队
伍实力的强弱与胜利的次数有关，由A队在5局比赛中获胜的概率分布为：
P{x=k}=Ckpk（1-p
）5-k
，k=0,1,2,3,4,5，然后计算五局三胜制比赛中A
5 ij ij
队最后获胜的概率：
在矩阵中A队以ai
次序出场、B队以bj
次序出场时，
在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率。
建模目的：
通过两支乒乓球队过去所比赛胜负的记录来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析，最后以本次预测方式为基础，对乒乓球比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。
关键词
五局三胜制 乒乓球赛 获胜概率
一、问题重述
A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，
并各有3种选手的出场顺序（分别记为a1,a2,a3 和b,1b2,b3）。
根据过去的比
赛记录，可以预测出如果A队以ai次序出场而B队以bj次序出场，则打满5局
A队可胜aij局。
由此得矩阵R=（aij）如下：
b1 b2 b3
aç
÷
0 3 4
R=a1æ
2 1 4ö
2ç
÷
3è
ø
5 3 1÷
（1）根据矩阵R能看出哪一队的实力较强吗？
（2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？
（3）如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？
（4）比赛为五战三胜制，但矩阵R中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？
就我们所知道的，在奥运会中，乒乓球赛也是以五局三胜制来定胜负的。
它更能体现运动员的综合能力，是乒乓球团体赛常用赛制，即一方赢完三场比赛即终止赛事。
比赛具体规则及要求如下：
1、中间一场为双打，其余四场为单打比赛。
（1）一个队由三名运动员组成，每名运动员出场2次。
（2）比赛顺序是：
主队VS客队第一场A1——B1第二场A2——B2第三场A3+A1或A2——B3+B1或B2第四场A1或A2——B3第五场A3——B1或B2。
（3）在打完前两场比赛后再确定双打运动员的出场名单。
参加了双打比赛的运动员，不能参加后面的单打比赛；
未参加双打比赛的运动员才可以参加后面的单打比赛。
2.每局的比赛情况如下：
（1）在一局比赛中，先得11分的一方为胜方；
10平后，先多得两分的一方为胜方。
（2）在获得两分后，接发球方变为发球方，依此类推，直到该局比赛结束，或直至双方比分为10平，或采用轮换发球法时，发球和接发球次序不变，但每人只轮发1分球。
（3）在双打中，每次换发球时，前面的接发球员应成为发球员，前面的发球员
的同伴应成为接发球员。
在一局比赛中首先发球的一方，在该场比赛的下一局中应首先接发球，在双打比赛的决胜局中，当一方先得5分以后，接发球的一方必须交换接发球次序。
一局中，在某一方位比赛的一方，在该场比赛的下一局应换到另一方位。
在决胜局中，一方先得5分时，双方应交换方位。
本题是以“五局三胜制”进行乒乓球赛事，即使两队实力差不多，但不同的出场顺序仍可能导致不同的结果，作为一名教练，怎样合理的安排运动员的出场决定比赛胜败的关键，题目中，所给出的矩阵，只是在以前比赛的基础上，根据他们取得的成绩，对比赛结果进行了一个大致的预测。
从矩阵中个元素值得大小，我们可以看出，不同队实力的强弱，同样，不同的出场方案会产生不同的结果。
此时，我们站在A队的角度，我们对矩阵进行分析，采取不同的出场方案，对“五局三胜制”的乒乓球赛事，我们进行了假设，分析，建模，解模，最后得出了以下结论。
二、问题的分析
一直以来，乒乓球赛都是以五局三胜制来定胜负的。
因为五局三胜制更能体现运动员的综合能力，是乒乓球团体赛常用赛制，即在进行五局比赛或者少于五局比赛的情况下，一方赢完三场比赛即终止赛事。
从题目中给出的矩阵，我们可以计算出，在完成五局比赛的情况下，A队获胜的概率为5/9，B队获胜的概率为4/9，相比之下，A队实力更强，获胜的概率更高。
两队的实力总体而言差不多,所以稳妥点很难分出胜负，甚至有些局可能要打好久才能分出个胜负,当然是让a3,a1,a2,a3,a1的顺序。
优点会避免因一个人由于发挥不好的因素，以为他最多可以打两局比赛.本文根据两支乒乓球队，在过去比赛中取得的成绩或胜负的记录，来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析，根据实际情况，乒乓球比赛模型与概率中的二项式模型相似，最后以本次预测方式为基础，对乒乓球比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。
三、模型的合理假设
a æ
a
R= 1 ç
2 ç
0 3 4÷
5
3
1
ç
由题中所给矩阵， è
ø
当A队以
i次序出场、B队以
bj次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数pij，并
且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。
这样，5局比赛就是一个独立重复试验序列。
比赛实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举。
1.A队的情况分析：
（1）.当A选a1的时候，则a1能可胜b、b、b分别是：
2，1，4局，其中
1 2 3
赢1盘，输2盘，而且赢得总局数为7。
（2）.当A选a2的时候，则a2能可胜b、b、b分别是：
0，3，4局，其中
赢2盘，输1盘，而且赢得总局数为7。
（3）.当A选a3的时候，则a3能可胜b、b、b分别是：
5，3，1局，其中
赢2盘，输1盘，而且赢得总局数为9。
由上面的分析可得，不论B选择什么方案，a1相比于a2和a3的情况是处于不利地位的，而对比a2和a3，a3的战况和满意程度都比a2的高。
因此，A队最稳妥的方案是a3。
2.B队的情况分析：
（4）.当B选b的时候，则b能可胜a1、a2、a3分别是：
2,0,5局，其中
1 1
（5）.当B选b的时候，则b能可胜a1、a2、a3分别是：
1,3,3局，其中
2 2
（6）.当B选b的时候，则b能可胜a1、a2、a3分别是：
4，4，1局，其中
3 3
同理可得，不论A选择什么方案，b1相比于b2和b3的情况是处于不利地位的，而对比b2和b3，b3的战况和满意程度都比b2的高。
因此，B队最稳妥
的方案是a3。
四、建模过程
1.问题一:
根据矩阵R能看出哪一队的实力较强吗？
1）模型假设：
从矩阵R=（aij）中可知，A队以ai次序出场而B队以bj次序出场，则打满
5局A队可胜aij局，A、B两支队伍实力的强弱与胜利的次数有关。
2）定义符号说明：
ai——A队的选手
x——A队在5局比赛中获胜的局数
bj——B队的选手
pij——A队获胜的概率
qij——A队最后获胜的概率
3）模型建立与求解：
ø
a3 è
5 3 ÷
设x是A队在5局比赛中获胜的局数，显然，x服从二项分布b（5,pij），概率分布为
）5-k，k=0,1,2,3,4,5。
R矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率。
假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是19种不同的出场次序出现的概率
相同，都是19，那么，就可以求出A队在每一局比赛中获胜的局数A=（2+1+4+0+3+4+5+3+1）/9=2.777778
2.777778大于2.5从每五局比赛来说，A队的实力比B队略微强一些。
由
五局的实力可得每局获胜的概率分别为
2/5，1/5，4/5，0/5，3/5，4/5，5/5，3/5，1/5，我们可以得到这样一个矩阵
P=（pij
é
0.4
ê
）=ê
0
ë
1
0.2
0.6
0.8ù
ú
0.8ú
。
0.2ú
û
比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。
下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：
A队最后获胜，可以分成下列几种情况：
p
；
ij
（1）A队前三局获胜。
这种情况的概率为 3
（2）在前三局中A队胜二局，B队胜一局，第五局A队又胜一局。
这种情况的概率为
C2p2（1-p）p =3p3（1-p）；
3 ij ij ij ij ij
（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。
C2p2（1-p）2p =6p3（1-p
）2；
4ij ij ij ij ij
2
把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率
qij=
3+3p3
（1-pij
）+6p3
（1-pij）
=p3
升级会员 