中考专题中考常见题型分类折叠问题Word文档下载推荐.docx
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设直线BC解析式为y=kx＋b,
∴
解得
∴折痕BC的解析式为y=－（1＋
）x＋4.
图①图②
第1题解图
2.如图,已知A（－3,0）,C（0,
）,点B在x轴正半轴上,且OB=
OA.
（Ⅰ）求出∠ABC的度数;
（Ⅱ）若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下,直接写出点P的坐标.
第2题图
（Ⅰ）∵A（－3,0）,C（0,
）,
∴OA=3,OC=
点B在x轴正半轴上,且OB=
∴OB=1,
∴tan∠ABC＝
∴∠ABC=60°
;
（Ⅱ）∵OA=3,OB=1,OC=
∴BC=2,AB=4,
∴∠B=60°
BM=BN,
∴△BMN是等边三角形,
∴△PMN也是等边三角形,
∴PN=BN=t,∠PNM=∠NMB=60°
∴PN∥AB,
即
∴t=
（Ⅲ）P点的坐标是（−1,
）.
【解法提示】如解图,过点P作PD⊥AB,垂足为D,
∵t=
∴BM=PM=
∠PMD=∠CBA=60°
∴PD=
DM=
∴OD=1,
∴P点的坐标是（−1,
第2题解图
3.如图,在平面直角坐标系中,正方形OBCD的点B的坐标为（2,0）,E,F分别为边BC,CD上的点,且BE=CF,连接OE,BF,交点为G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交x轴于点Q.
（Ⅰ）求证:
OE⊥BF;
（Ⅱ）若E为BC的中点,求点Q的坐标;
（Ⅲ）设点E的坐标为（2,n）,点Q的坐标为（－m,0）,请写出m关于n的函数关系式.
第3题图
（Ⅰ）在△BEO和△CFB中,
∴△BEO≌△CFB,
∴∠BEO=∠CFB,
∵∠CFB＋∠CBF=90°
∴∠BEO＋∠CBF=90°
∴∠EGB=180°
－90°
=90°
∴OE⊥BF;
（Ⅱ）如解图，由折叠的性质得∠1=∠2,BP=BC=2,
FP=FC=BE=1,
∵CD∥OB,
∴∠2=∠FBQ,
∴∠1=∠FBQ,
∴QF=QB,
设QB=x,则PQ=x－1,
在Rt△BPQ中，QB2=PB2+PQ2,
即x2=22+（x-1）2,
解得x=
∴QO=QB-OB=
-2=
∴点Q的坐标是（－
0）;
（Ⅲ）如解图，过点F作FH⊥OB于点H,
则四边形BCFH为矩形,即CF=BH,
∵点E的坐标为（2,n）,BE=CF,
∴CF=BH=BE=n,
由折叠的性质可得BC=BP=2,BP⊥QF,
∵S△FBQ=
QB·
FH=
QF·
BP,
∴QB=QF,
∵QB=OB+OQ=m+2,
在Rt△QFH中,由勾股定理得QF2=FH2+QH2,即（m+2）2=（m+2-n）2+22,
∴m=
.
第3题解图
4.在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD按图①所示放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O落在边CD上,记作点A,折痕与边OD（含端点）交于点E,与边OB（含端点）或其延长线交于点F.
（Ⅰ）如图①,若点E的坐标为（0,4）,求点A的坐标;
（Ⅱ）将矩形沿直线y=－
x＋n折叠,求点A的坐标;
（Ⅲ）将矩形沿直线y=kx＋n折叠,点F在边OB上（含端点）,直接写出k的取值范围.
第4题图
（Ⅰ）∵点E的坐标为（0,4）,
∴OE=AE=4,
∵四边形OBCD是矩形,
∴OD=BC=6,
∴DE=2,
∴AD=
=2
∴点A的坐标为（2
6）;
（Ⅱ）由于直线EF解析式是y=－
x＋n,
∴OE=n,点F的坐标为（2n,0）,
连接OA,如解图①，则EF垂直平分OA,
易得△AOD∽△EFO,
则AD=
OD=3,
∴点A的坐标为（3,6）;
（Ⅲ）－1≤k≤－
【解法提示】当点F与点B重合时,AB=OB=10,
∴AC=
=8,则AD=2,
易得△ADE∽△BCA,则
∴DE=
∴OE=
∴n=
直线EF的解析式为y=kx＋
令x=10，则y=0,即0=10k＋
∴k=;
当点E与点D重合时,如解图②,点F（6,0）,
易得直线EF的解析式为y=－x＋6,此时k=-1,
综上所述,k的取值范围是－1≤k≤－
第4题解图
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,∠AOB=45°
线段OA,AB的长满足|OA－
|＋（AB－
）2=0,点C在OA边上,将△OBC沿x轴折叠,使点C落在点D上,连接BC.
（Ⅰ）求∠A的度数;
（Ⅱ）当OC:
OA=1:
时,求BD所在直线的解析式;
（Ⅲ）当OC:
CA=1:
2时,在平面内是否存在点N,使以点N,O,D,M（点M为坐标轴上一点）为顶点的四边形为正方形？
若存在,请直接写出点N的坐标;
第5题图
（Ⅰ）∵|OA－
）2=0,
∴OA－
=0,AB－
=0,
∴OA=
AB=
如解图①,过点A作AM⊥x轴,垂足为M,
又∵∠AOB=45°
∴△AOM为等腰直角三角形,
∴∠OAM=45°
∴OM=AM=
OA=3,
∴MB=
=
AB,
∴∠MAB=30°
∴∠OAB=∠OAM＋∠MAB=75°
（Ⅱ）如解图②,连接CD交x轴于点N,
∵OC:
OA=
∴OC=
∵∠DON=∠CON=45°
∴△COD为等腰直角三角形,
∴CN=ND=
ON=
∴D（
－
又∵OB=OM＋BM=3＋
设直线BD的解析式为y=kx＋b,
将B（3＋
0）,D（
）代入得
∴直线BD的解析式为y=
x－
－1;
（Ⅲ）满足条件的点N的坐标有4个,N点坐标为N（1,1）,N（－1,－10,N（0,－1）,N（1,0）.
第5题解图
6.如图①,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
（Ⅰ）直接写出点E、F的坐标;
（Ⅱ）如图②,若点P是线段DA上的一个动点,过P作PH⊥DB于H点,设OP的长为x,△DPH的面积为S,试用关于x的代数式表示S;
（Ⅲ）如图③,在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？
如果存在,求出周长的最小值.（直接写出结果即可）
第6题图
（Ⅰ）由题意可求,AE=1,CF=1,
故:
E（3,1）,F（1,2）;
（Ⅱ）∵将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处,
∴BF=AB=2,
∴OD=CF=3－2=1,
若设OP的长为x,
则PD=x－1,
在Rt△ABD中,AB=2,AD=2,
∴∠ADB=45°
在Rt△PDH中,PH=DH=DP×
（x－1）,
∴S=
×
DH×
PH=
（x－1）×
（x－1）=
－
＋
（Ⅲ）如解图,作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,
可求,点F（1,2）关于y轴的对称点F′（－1,2）,点E（3,1）关于x轴的对称点E′（3,－1）,
用两点法可求直线E′F′的解析式为:
y=−
当x=0时,y=
当y=0时,x=
∴N（0,
）,M（
0）,
此时,四边形MNFE的周长=E′F′＋EF=
=5＋
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小,最小为:
5＋
第6题解图
7.如图①,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O（0,0）,A（8,0）,C（0,4）,点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）,将△PAB沿PB翻折,得到△PDB,
（Ⅰ）如图①,当∠BPA=30°
时,求点D的坐标;
（Ⅱ）现在OC边上选取适当的点E,再将△POE沿PE翻折,得到△PEF.并使直线PD、PF重合.如图②,设P（x,0）,E（0,y）,求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,当点F恰好落在边CB上时,求点P的坐标.（直接写出结果即可）.
第7题图
（Ⅰ）如解图①,过点D作x轴的垂线,垂足为点Q,
根据题意,在Rt△PAB中,∠PAB=90°
∠BPA=30°
AB=4,PB=8,AP=4
在Rt△PBD中,由题意得∠PDB=90°
∠DPA=2∠BPA
=60°
∠PDQ=30°
所以PQ=
PA=2
=AQ,
DQ=PQ×
=6,
OQ=8－AQ=8－2
所以D点的坐标为（8－2
6）
（Ⅱ）如解图②,由已知得PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且BP,PE垂直,则∠BPE=90°
∴∠OPE＋∠APB═90°
又∵∠APB＋∠ABP=90°
∴∠OPE=∠PBA,
∴Rt△POE∽Rt△BAP,
∴y=
x（8－x）=－
x2＋2x=－
（x－4）2＋4,（0＜x＜8）
且当x=4时,y有最大值为4;
（Ⅲ）P点的坐标为（4,0）,（
过点P作PN⊥CB于点N,如解图②,
∴∠ECF=∠FNP=90°
∴∠CEF＋∠EFC=90°
∵∠EFC＋∠PFN=90°
∴∠CEF=∠PFN,
∴△CEF∽△NFP,
CF=
即2y－4=
将y=－
x2＋2x代入得:
8（－
x2＋2x）－16=x2－16x＋64,
整理得3x2－32x＋80=0,
解得x1=4,x2=
∴P点的坐标为（4,0）,（
0）.
第7题解图
8
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