最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量》示范教案Word下载.docx
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①平面向量a与b的数量积a·
b=|a||b|cosθ是数量,其中θ的取值范围是0≤θ≤π.
②由a≠0,且a·
b=0不能推出b=0.
③由a·
b=b·
c不能推出a=c.
④平面向量的数量积不满足结合律,即(a·
b)c与a(b·
c)不一定相等.
⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算,可对照下表记忆:
数量积
数乘向量
数乘数
运算对象
两个向量
一个实数与一个向量
两个实数
运算结果
实数
向量
结合律
不满足
满足
逆运算
不存在
存在
(4)平面向量的应用
①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题;
利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题.
②平面向量的应用,体现在高考中主要是在几何中的应用,平面几何中的许多性质,如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来.
③用向量的方法解决几何问题时,首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系,最后把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.
教学分析
向量的重要性可与函数相比,函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一,它贯穿于整个中学的每一个学习阶段;
而向量可作为一种重要的解题方法,渗透于高中数学的许多章节,它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的.因此复习时,要特别重视向量概念、向量运算,并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想,利用直观的教学手段和方法,帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义.变抽象为形象,变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题,从而提高本章复习的教学质量.
数与形的紧密结合是本章的显著特点,向量与几何之间存在着对应关系;
向量又有加减、数乘及数量积等运算,也有平面向量的坐标运算,因而向量具有几何和代数的双重属性,能沟通几何与代数,从而给了我们一种新的数学方法——向量法.向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学,将技巧性解题化成算法解题,因此是一种通法.在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的,掌握向量运算法则的基本依据,搞清向量运算和实数运算的联系和区别,认识向量平移是平面向量坐标运算的基础.
将一个实际问题转化为向量之间的关系问题,用向量建立一个数学模型是一个难点问题.在复习课教学中应注意多举例,引导学生思考并及时总结,逐步培养学生用向量工具解题的思维方向.
充分发挥多媒体的作用,向量是建立在平面上的,平移是向量的常见现象,而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题.在复习完本章内容后,还要引导学生反思,重新概括研究思路,这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法,提升学生的数学思维水平.
三维目标
1.通过展示本章知识网络结构,列出复习提纲,引导学生补充相关内容,加深理解向量概念,平面向量的基本定理,两向量平行与垂直的条件,平面向量的坐标表示及其坐标运算,向量的数量积及其性质,向量的实际应用等知识,提高分析问题、解决问题的能力.
2.通过本节对向量有关内容的复习,使学生进一步认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,深刻领悟数形结合思想,转化与化归思想.
3.通过一题多解的活动,培养学生的发散性思维能力,同时通过多种方法间的沟通,让学生体验数学的统一美、内在美,逐渐学会用美的心态来看待数学.
重点难点
教学重点:
向量的运算,向量平行、垂直的条件,平面向量的坐标表示及其运算,数量积的理解运用.
教学难点:
向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题.
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(直接导入)前面一段时间,探究学习了向量的有关知识,并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法,提高了我们的思维能力.这一节,我们一起对本章进行小结与复习,来进一步巩固本章所学的知识,强化向量的综合应用.
思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份,与代数、几何都有着密切的关系,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点.在中学数学教材中的地位也越来越重要,也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点,根据你所学的本章知识解释一下,它是怎样具有代数、几何双重身份的?
向量是怎样进行代数运算的?
又是怎样进行几何运算的?
你对向量的哪种运算掌握得最好?
由此展开全章的复习.
推进新课
(1)回忆向量的概念:
向量的表示,零向量,相等的向量,共线向量.
(2)回忆向量的运算:
向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质.
(3)回忆本章学过的重要定理、公式.
活动:
(1)本章概念较多,学生可能不知如何进行复习,从头到尾重新翻看教材,学生兴趣不大,效果也不好.教师要点拨学生不仅要善于学习知识,而且还要善于归纳整理所学的知识.首先教师引导学生回忆从前所学,指导学生归类比较.比较是最好的学习方法,如向量的表示法:
几何表示法为
,a(手写时为
),坐标表示法为a=xi+yj=(x,y).有哪些特殊的向量:
a=0
|a|=0.单位向量:
a0为单位向量
|a0|=1.相等的向量:
大小相等,方向相同,a=b
(x1,y1)=(x2,y2)
等等.
(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳,引导学生把向量的运算类比数的运算.向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱,教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容.
运算
类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的加法
平行四边形法则
(共起点构造平行四边形)
三角(多边)形法则
(向量首尾相连)
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
+
=
向量的减法
三角形法则
(共起点指向被减)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
a-b=a+(-b)
=-
-
数乘向量
λa是一个向量,满足:
λ>
0时,λa与a同向;
λ<
0时,λa与a异向;
λ=0时,λa=0
λa=(λx,λy)
λ(μa)=(λμ)a
(λ+μ)a=λa+μa
λ(a+b)=λa+λb
a∥ba=λb(b≠0)
向量的数量积
a·
b是一个实数
a=0或b=0或a⊥b时,a·
b=0
a≠0且b≠0时,a·
b=|a||b|cos〈a,b〉
b=x1x2+y1y2
a
(λa)·
b=a·
(λb)=λ(a·
b)
(a+b)·
c=a·
c+b·
c
a2=|a|2,|a|=
|a·
b|≤|a||b|
(3)本章的重要定理及公式:
a.平面向量基本定理:
e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
b.两个向量平行的充要条件:
a∥b(b≠0)
存在唯一的实数λ,使得a=λb;
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b
x1y2-x2y1=0(b可以为0).
c.两个向量垂直的充要条件:
当a、b≠0时,a⊥b
x1x2+y1y2=0.
讨论结果:
(1)~(3)略.
例1已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,
(1)ka+b与a-3b垂直?
(2)ka+b与a-3b平行?
平行时它们是同向还是反向?
向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系,是高考考查的重要内容之一.在解决本题时,教师首先引导学生思考回顾,如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题;
共线的向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础,那么,怎样应用向量共线这个条件呢?
让学生通过例题仔细体会,进一步熟练、提高.
解:
(1)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当(ka+b)·
(a-3b)=0时,这两个向量垂直.
由(k-3)·
10+(2k+2)·
(-4)=0,解得k=19,
即当k=19时,ka+b与a-3b垂直.
(2)当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得
解这个方程组,得k=-
,λ=-
,即当k=-
时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-
a+b.因为λ=-
<
0,所以-
a+b与a-3b反向.
点评:
共线向量的充要条件有两种不同的表示形式,但其本质是一样的,在运用中各有特点,解题时可灵活地选择.在本例中,也可以根据向量平行充要条件的坐标形式,从(k-3)×
(-4)-10×
(2k+2)=0,先解出k=-
,然后再求λ.
变式训练
设坐标平面上有三点A、B、C,i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量,若向量
=i-2j,
=i+mj,那么是否存在实数m,使A、B、C三点共线.
方法一:
假设满足条件的m存在,由A、B、C三点共线,即
∥
,
∴存在实数λ,使
=λ
,i-2j=λ(i+mj),
∴m=-2,即当m=-2时,A、B、C三点共线.
方法二:
假设满足条件的m存在,
根据题意可知i=(1,0),j=(0,1),
∴
=(1,0)-2(0,1)=(1,-2),
=(1,0)+m(0,1)=(1,m).
由A、B、C三点共线,即
故1·
m-1·
(-2)=0,解得m=-2.
∴当m=-2时,A、B、C三点共线.
例2如图1,已知在△ABC中,
=a,
=b,