同角三角函数的基本关系式与诱导公式届一轮复习资料32Word格式.docx
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A.±
B.
C.
2.点A(sin2014°
,cos2014°
)在直角坐标平面上位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.tan690°
的值为( )
A.-
D.-
4.(教材改编)如果sin(π+A)=
,那么cos
的值是________.
1.D 2.C 3.A 4.
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
+α
正弦
sinα
-sin__α
-sinα
cos__α
cosα
余弦
-cosα
正切
tanα
-tanα
-tan_α
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
【指点迷津】
1.一个口诀
诱导公式的记忆口诀为:
奇变偶不变,符号看象限.
2.两种关系
①平方关系(变形)sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
②商数关系(变形)sinα=cosαtanα,cosα=
.
3.三种方法
在求值与化简时,常用方法有:
(1)弦切互化法:
主要利用公式tanα=
化成正、余弦.
(2)和积转换法:
利用(sinθ±
cosθ)2=1±
2sinθcosθ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换:
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ·
(1+tan2θ)=tan
=….
4.三个防范
(1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:
去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
考向一 同角三角函数关系及应用
(Ⅰ)已知tanα=
,则cos2α+sin2α的值为________.
(Ⅱ)已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=
(1)求tanα的值;
(2)把
用tanα表示出来,并求其值.
【审题视点】 (Ⅰ)把cos2α+sin2α用切函数表示.
(Ⅱ)联立方程组求sinα,cosα.
【典例精讲】 (Ⅰ)cos2α+sin2α=1-2sin2α+sin2α
=cos2α=
=
(Ⅱ)
(1)方法一:
联立方程
由①得cosα=
-sinα,将其代入②,
整理得25sin2α-5sinα-12=0.
∵α是三角形内角,∴sinα>0,
∴
,∴tanα=-
方法二:
∵sinα+cosα=
,
∴(sinα+cosα)2=
即1+2sinαcosα=
∴2sinαcosα=-
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα
=1+
∵sinαcosα=-
<0且0<α<π,
∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0,
∴sinα-cosα=
由
,得
∴tanα=-
(2)
∵tanα=-
=-
【答案】 (Ⅰ)
(Ⅱ)
(1)-
(2)-
【类题通法】
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用
=tanα(α≠kπ+
,k∈Z)可以实现角α的弦切互化.
(2)对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.转化的公式为(sinα±
cosα)2=1±
2sinαcosα.
(3)关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.
1.已知sin(3π+α)=2sin
,则
=________.
解析:
方法一:
由sin(3π+α)=2sin
得tanα=2.
原式=
由已知得sinα=2cosα.
-
考向二 利用诱导公式化简求值
已知f(x)=
,化简f(x)的表达式并求f
的值.
【审题视点】 先根据诱导公式和同角关系式化简再求值.
【典例精讲】 ∵f(x)=
=-cosx·
tanx=-sinx,
∴f
=-sin
=sin
=sin
【类题通法】 利用诱导公式化简求值时的原则为:
1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.
2.“大化小”,利用公式一将大于360°
的角的三角函数化为0°
到360°
的三角函数,利用公式二将大于180°
到180°
的三角函数.
3.“小化锐”,利用公式六将大于90°
的角化为0°
到90°
的角的三角函数.
4.“锐求值”,得到0°
的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.
2.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(
+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinα的值是( )
B.
C.
D.
选C.由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ=1,解得tanα=3,故sinα=
考向三 同角关系式、诱导公式在三角形中的应用
在△ABC中,若sin(3π-A)=
sin(π-B),
cos(
-A)=
cos(π-B).试判断三角形的形状.
【审题视点】 寻找A,B的函数值关系,求角A和B.
【典例精讲】 由题设条件得
sinA=
sinB,-sinA=-
cosB
∴sinB=cosB,∴tanB=1,
∵sinB∈(0,π),∴B=
∴sinA=
×
=1,A∈(0,π)
∴A=
,∴C=
∴△ABC是等腰直角三角形.
【类题通法】 1.在△ABC中常用到以下结论:
sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,
tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,
sin
=cos
cos
2.求角时,一般先求出该角的某一个三角函数值,如正弦值,余弦值或正切值,再确定该角的范围,最后求角.
3.在△ABC中,若sin(2π-A)=-
cosA=-
cos(π-B),求△ABC的三个内角.
由已知得
①2+②2得2cos2A=1,
即cosA=
或cosA=-
(1)当cosA=
时,cosB=
又A、B是三角形的内角,∴A=
,B=
∴C=π-(A+B)=
π.
(2)当cosA=-
时,cosB=-
又A、B是三角形的内角,
A=
π,B=
π,
∴显然无意义.
,C=
三角同角关系的给值求值问题
若cosα+2sinα=-
,则tanα=( )
B.2C.-
D.-2
【方法分析】 ①弄清题目条件是什么,解题目标是什么.
题目条件:
等式中有同角的正、余弦函数.
解题目标:
求同角的正切值.
②关系探究:
已知与未知、条件与目标的转化关系.
(ⅰ)弦化切,把条件转化为切函数(tanα)的方程.
(ⅱ)构造cosα,sinα的方程求出sinα和cosα,再求切.
(ⅲ)利用辅助角公式,求角α,再求tanα.
(ⅳ)构造函数,利用最值与极值的关系求切.
【解答过程】 (ⅰ)由cosα+2sinα=-
得
∴1+2tanα=-
∴(1+2tanα)2=
∴tan2α-4tanα+4=0,∴tanα=2.
(ⅱ)由
∴5sin2α+4
sinα+4=0,∴sinα=-
∴cosα=-
-2sinα=-
∴tanα=
=2.
(ⅲ)cosα+2sinα=-
(
sinα+
cosα)=-
令cosφ=
,sinφ=
∴sin(α+φ)=-1,∴φ+α=-
∴α=-
-φ,
tanα=
(ⅳ)设f(x)=cosx+2sinx,f(x)min=-
由cosα+2sinα=-
可知
当x=α时,f(x)min=f(α),
又∵f′(x)=-sinx+2cosx
∴f(α)=0,∴-sinα+2cosα=0,
【答案】 B
【回归反思】 ①得出1+2tanα=-
后,右边的分母还没变成目标函数,需要对等式两边平方,再结合1=cos2α+sin2α,出现切tanα这最难.
②解法(ⅲ)与(ⅳ)是技巧法,想法都是利用cosα+2sinα的最小值为-
这个特殊数采用辅助角的代换与求实数技巧.
1.已知sin
,那么cosα=( )
B.-
D.
选C.利用诱导公式化简已知条件即可.
=cosα,故cosα=
,故选C.
2.已知α是第二象限角,sinα=
,则cosα=( )
B.-
D.
选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.
因为α为第二象限角,所以cosα=-
3.已知α∈R,sinα+2cosα=
,则tan2α=( )
B.
C.-
选C.先利用条件求出tanα,再利用倍角公式求tan2α.
把条件中的式子两边平方,得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=
,即3cos2α+4sinαcosα=
,所以
,即3tan2α-8tanα-3=0,解得tanα=3或tanα=-
,所以tan2α=
4.设θ为第二象限角,若tan
,则sinθ+cosθ=________.
本题先求出ta