同角三角函数的基本关系式与诱导公式届一轮复习资料32Word格式.docx
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A．±
B.
C.
2．点A（sin2014°
，cos2014°
）在直角坐标平面上位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．tan690°
的值为（ ）
A．－
D．－
4．（教材改编）如果sin（π＋A）＝
，那么cos
的值是________．
1.D 2.C 3.A 4.
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
＋α
正弦
sinα
－sin__α
－sinα
cos__α
cosα
余弦
－cosα
正切
tanα
－tanα
－tan_α
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
【指点迷津】
1．一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：
奇变偶不变，符号看象限．
2．两种关系
①平方关系（变形）sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
②商数关系（变形）sinα＝cosαtanα，cosα＝
.
3．三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：
主要利用公式tanα＝
化成正、余弦．
（2）和积转换法：
利用（sinθ±
cosθ）2＝1±
2sinθcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ·
（1＋tan2θ）＝tan
＝….
4．三个防范
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：
去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
考向一 同角三角函数关系及应用
（Ⅰ）已知tanα＝
，则cos2α＋sin2α的值为________．
（Ⅱ）已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝
（1）求tanα的值；
（2）把
用tanα表示出来，并求其值．
【审题视点】 （Ⅰ）把cos2α＋sin2α用切函数表示．
（Ⅱ）联立方程组求sinα，cosα.
【典例精讲】 （Ⅰ）cos2α＋sin2α＝1－2sin2α＋sin2α
＝cos2α＝
＝
（Ⅱ）
（1）方法一：
联立方程
由①得cosα＝
－sinα，将其代入②，
整理得25sin2α－5sinα－12＝0.
∵α是三角形内角，∴sinα＞0，
∴
，∴tanα＝－
方法二：
∵sinα＋cosα＝
，
∴（sinα＋cosα）2＝
即1＋2sinαcosα＝
∴2sinαcosα＝－
∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα
＝1＋
∵sinαcosα＝－
＜0且0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，
∴sinα－cosα＝
由
，得
∴tanα＝－
（2）
∵tanα＝－
＝－
【答案】 （Ⅰ）
（Ⅱ）
（1）－
（2）－
【类题通法】
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
＝tanα（α≠kπ＋
，k∈Z）可以实现角α的弦切互化．
（2）对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余二式的值．转化的公式为（sinα±
cosα）2＝1±
2sinαcosα.
（3）关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．
1．已知sin（3π＋α）＝2sin
，则
＝________．
解析：
方法一：
由sin（3π＋α）＝2sin
得tanα＝2.
原式＝
由已知得sinα＝2cosα.
－
考向二 利用诱导公式化简求值
已知f（x）＝
，化简f（x）的表达式并求f
的值．
【审题视点】 先根据诱导公式和同角关系式化简再求值．
【典例精讲】 ∵f（x）＝
＝－cosx·
tanx＝－sinx，
∴f
＝－sin
＝sin
＝sin
【类题通法】 利用诱导公式化简求值时的原则为：
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°
的角的三角函数化为0°
到360°
的三角函数，利用公式二将大于180°
到180°
的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°
的角化为0°
到90°
的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°
的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
2．已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos（
＋β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）＝1，则sinα的值是（ ）
B.
C.
D.
选C.由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，故sinα＝
考向三 同角关系式、诱导公式在三角形中的应用
在△ABC中，若sin（3π－A）＝
sin（π－B），
cos（
－A）＝
cos（π－B）．试判断三角形的形状．
【审题视点】 寻找A，B的函数值关系，求角A和B.
【典例精讲】 由题设条件得
sinA＝
sinB，－sinA＝－
cosB
∴sinB＝cosB，∴tanB＝1，
∵sinB∈（0，π），∴B＝
∴sinA＝
×
＝1，A∈（0，π）
∴A＝
，∴C＝
∴△ABC是等腰直角三角形．
【类题通法】 1.在△ABC中常用到以下结论：
sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，
cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cosC，
tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanC，
sin
＝cos
cos
2．求角时，一般先求出该角的某一个三角函数值，如正弦值，余弦值或正切值，再确定该角的范围，最后求角．
3．在△ABC中，若sin（2π－A）＝－
cosA＝－
cos（π－B），求△ABC的三个内角．
由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，
即cosA＝
或cosA＝－
（1）当cosA＝
时，cosB＝
又A、B是三角形的内角，∴A＝
，B＝
∴C＝π－（A＋B）＝
π.
（2）当cosA＝－
时，cosB＝－
又A、B是三角形的内角，
A＝
π，B＝
π，
∴显然无意义．
，C＝
三角同角关系的给值求值问题
若cosα＋2sinα＝－
，则tanα＝（ ）
B．2C．－
D．－2
【方法分析】 ①弄清题目条件是什么，解题目标是什么．
题目条件：
等式中有同角的正、余弦函数．
解题目标：
求同角的正切值．
②关系探究：
已知与未知、条件与目标的转化关系．
（ⅰ）弦化切，把条件转化为切函数（tanα）的方程．
（ⅱ）构造cosα，sinα的方程求出sinα和cosα，再求切．
（ⅲ）利用辅助角公式，求角α，再求tanα.
（ⅳ）构造函数，利用最值与极值的关系求切．
【解答过程】 （ⅰ）由cosα＋2sinα＝－
得
∴1＋2tanα＝－
∴（1＋2tanα）2＝
∴tan2α－4tanα＋4＝0，∴tanα＝2.
（ⅱ）由
∴5sin2α＋4
sinα＋4＝0，∴sinα＝－
∴cosα＝－
－2sinα＝－
∴tanα＝
＝2.
（ⅲ）cosα＋2sinα＝－
（
sinα＋
cosα）＝－
令cosφ＝
，sinφ＝
∴sin（α＋φ）＝－1，∴φ＋α＝－
∴α＝－
－φ，
tanα＝
（ⅳ）设f（x）＝cosx＋2sinx，f（x）min＝－
由cosα＋2sinα＝－
可知
当x＝α时，f（x）min＝f（α），
又∵f′（x）＝－sinx＋2cosx
∴f（α）＝0，∴－sinα＋2cosα＝0，
【答案】 B
【回归反思】 ①得出1＋2tanα＝－
后，右边的分母还没变成目标函数，需要对等式两边平方，再结合1＝cos2α＋sin2α，出现切tanα这最难．
②解法（ⅲ）与（ⅳ）是技巧法，想法都是利用cosα＋2sinα的最小值为－
这个特殊数采用辅助角的代换与求实数技巧．
1．已知sin
，那么cosα＝（ ）
B．－
D.
选C.利用诱导公式化简已知条件即可．
＝cosα，故cosα＝
，故选C.
2．已知α是第二象限角，sinα＝
，则cosα＝（ ）
B．－
D.
选A.利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．
因为α为第二象限角，所以cosα＝－
3．已知α∈R，sinα＋2cosα＝
，则tan2α＝（ ）
B.
C．－
选C.先利用条件求出tanα，再利用倍角公式求tan2α.
把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝
，即3cos2α＋4sinαcosα＝
，所以
，即3tan2α－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－
，所以tan2α＝
4．设θ为第二象限角，若tan
，则sinθ＋cosθ＝________．
本题先求出ta
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