数量关系解题技巧Word下载.docx
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如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；
现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。
A、B两地相距多少千米？
【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。
这段路的长度是多少呢？
就是两人4小时一共比原来少行的路。
由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。
这样，就能求出他们现在的速度和了。
【解】1×
4×
2÷
（5-4）×
5=40（千米）
这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：
速度和×
时间=（相隔的）路程。
但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。
不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。
【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。
小李骑车的速度为每小时10.8千米。
小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。
小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
【分析】为便于分析，画出线段图36-1：
图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所在地点。
根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。
因此，DC的长为
这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。
这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。
这段时间为
1.3÷
（5.4-4.8）×
60=130（分）
这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷
5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。
【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。
然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。
问这时是几点几分？
【分析】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。
从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；
爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。
可见，爸爸的速度是小明的（12÷
4=）3倍。
从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。
由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。
这样可以算出，小明从家到A所用的时间为
8÷
（3-1）×
3=12（分）
【解】8÷
3×
2=24（分）
数量关系中浓度和配比基本问题一
（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？
（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？
解：
（1）浓度10％，含糖80×
10％＝8（克），有水80-8＝72（克）。
如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷
8％＝100（克），其中有水100-8＝92（克）。
还要加入水92-72＝20（克）。
（2）浓度为20％，含糖40×
20％＝8（克），有水40-8＝32（克）。
如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有x∶32＝40％∶（1-40％），
数量关系中浓度和配比基本问题二
20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克。
问：
20％与5％食盐水各需要多少克？
20％比15％多（20％-15％），5％比15％少（15％-5％），多的含盐量 （20％-15％）×
20％所需数量
要恰好能弥补少的含盐量 （15％-5％）×
5％所需数量。
也就是
画出示意图：
相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系。
答：
需要浓度20％的600克，浓度5％的300克。
例19甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水120克，往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样，问倒入多少克水？
要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样
甲中含盐量：
乙中含盐量
=300×
8％∶120×
12.5％
=8∶5
现在要使（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.
把“300克+倒入水”算作8份，“120克+倒入水”算作5份，每份是（300-120）÷
（8-5）=60（克）。
倒入水量是60×
8-300＝180（克）。
每一容器中倒入180克水。
例20 甲容器有浓度为2％的盐水180克，乙容器中有浓度为9％的盐水若干克，从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：
（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？
（2）再往乙容器倒入水多少克？
（1）现在甲容器中盐水含盐量是180×
2％＋240×
9％＝25.2（克）。
浓度是25.2÷
（180＋240）×
100％=6％
（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多，在乙中也含有25.2克盐，因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中。
在倒出盐水240克后，乙的浓度仍是9％，要含有25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷
9％＝280（克），还要倒入水420-280＝140（克）。
（1）甲容器中盐水浓度是6％；
（2）乙容器再要倒入140克水。
数量关系之浓度问题方程法
了解溶液浓度的基本公式：
溶液浓度＝溶质的质量/溶液的质量×
100％
解得时，只要求出各变量的值就可求出溶液浓度。
数量关系之工程问题专项训练
数量关系之工程问题解题方法及例题详解
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是
工作量=工作效率×
时间
在数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”
举一个简单例子
一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷
工作效率
=6（天）
两人合作需要6天
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的
为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是
30÷
（3+2）=6（天）
数计算，就方便些
∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也
需时间是
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些
一、两个人的工程问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体
例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？
乙需要做4天可完成全部工作
解二：
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份。
甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18-2×
3）÷
3=4（天）
解三：
甲与乙的工作效率之比是
6∶9=2∶3
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）
例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
共做了6天后，
原来，甲做24天，乙做24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是
如果甲独做，所需时间是
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天
例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；
如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
先对比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的
甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做
因此，乙还要做28+28=56（天）
乙还需要做56天
例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）问开始到完工共用了多少天时间？
解一：
甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+1=11（天）
从开始到完工共用了11天
设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
（30-3×
8-1×
2）÷
（3+1）=1（天）
甲队做1天相当于乙队做3天
在甲队单独做8天后
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