高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修Word文件下载.docx
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分类
△＞0
△=0
△＜0
ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集
（－∞，x1）∪（x2,＋∞）
（－∞，x0）∪（x0，＋∞）
R
ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集
（x1，x2）
1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。
2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。
例4、写出一元二次不等式的解法步骤。
【解】一元二次不等式的解法步骤是：
1.化为一般式ax2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）。
这步可简记为“使a＞0”。
2.计算△=b2－4ac，判别与求根：
解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。
3.写出解集：
用区间或用大括号表示解集。
例：
解不等式
x+2＞3x2
解：
原不等式等价于
3x2－x－2＜0
解方程3x2－x－2=0得二根：
，x2=1。
∴原不等式的解集为（
，1）。
第二阶梯
例1、解下列不等式：
（1）2+3x－2x2＜0；
（2）－x2+2x－3x＞0；
（3）x2－4x+4＞0
（1）原不等式等价于2x2-3x-2>
由2x2－3x－2=0得
，x2=2.
∴原不等式的解集是
（2）原不等式等价于:
x2-2x+3<
由△=
＜0，知原不等式解集为
。
（3）△=
，方程
有等根
，
∴原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}。
1.要严格按“解法步骤”求解。
2.最后要用集合表示法表出解集。
如本倒的
（1）用区间表出解集；
本例之（3）用大括号表出解集，该题的解集也可用区间表为
，但有的同学把第（3）题的解集表为x≠2，这是错误的。
例2、解不等式（1+x）（2-x）（x2+x+1）＞0
【探路】化为一元二次不等式来解。
∵y=x2+x+1的判别式△=12＜0，a=1＞0
∴对一切x∈R恒有x2+x+1＞0，
∴原不等式等价于
（1+x）（2-x）＞0
＜0
－1＜x＜2
∴原不等式的解集为（－1，2）。
例3、设全集为R，已知A={
}，求
【探路】解不等式化简集合A。
，……
（1）
方程2x2-x-1=0的两根为
∴不等式①的解集为[
，1]，
∴A=[
，1]
∴
例4、已知关于x的方程2x2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围。
【探路】列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组。
【解】已知方程有两个负根的等价条件是
∴m的取值范围是（
]∪[1，＋∞）
1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故△≥0，因此列成△＞0是错误的。
又若只列成△≥0也是错误的，△≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2>
0,x1+x2<
0的条件。
2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用。
第三阶梯
例5、已知A=
，B=
（1）若B
A，求a的取值范围；
（2）若A∩B是单元素集合，求a取值范围。
【探路】先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值。
【解】解不等式
得A=[1，2]；
而B={
≤0}。
A，如图1，得a的取值范围是1≤a＜2。
（2）若A∩B是单元素集合，如图2，A∩B只能是集合{1}
∴a的取值范围是a≤1。
集合B的最简表示只能是B={
}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；
此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间。
例6、解关于x的不等式2x2-5ax-3a2＜0（a∈R）。
【探路】先求出不等式相应的二次方程的根，然后注意分类讨论，比较两根的大小，求出不等式的解集。
解方程2x2-5ax-3a2=0，得
当a＞0时，
＜3a，原不等式的解集是（
，3a）；
当a＜0时，
＞3a，原不等式的解集是（3a，
）；
当a=0时，
=3a=0，原不等式的解集是
【评注】解含字母系数的二次不等式，在求出相应方程的二根后，应注意对字母分类讨论两根的大小，进而确定相应的解集。
例7已知
（且b＞0）的解集为{x|－1≤x≤2}，求实数a，b的值。
【探路】将不等式|ax+3|≤b化为二次不等式，利用二次不等式与二次方程的关系求a、b的值。
∴关于x的二次不等式
（a2＞0）的解集为[－1，2]。
∴－1和2是方程
的二根
解得
；
或
∵b＞0，舍去后一组解。
∴a=-6,b=9
【评注】本例就是利用一元二次不等式与一元二次方程的联系来解题。
三、练习题
A组
1.不等式|x（x+1）|＞x（x+1）的解集是（
）
（A）（－∞，－1）∪（－1，+∞）
（B）（－1，+∞）
（C）（－∞，－1）∪（－1，0）
（D）（－1，0）
2.不等式42x2+ax＜a2（常数a＜0）的解集是（
（A）
（B）
（C）
（D）
3.不等式
＜0的解集是（
（A）（0，3）
（B）（－3，0）（C）（－3，3）（D）R
4.若关于x的不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为
，那么（
（A）a＜0，且b2－4ac＞0
（B）a＜0，且b2－4ac≤0
（C）a＞0，且b2－4ac≤0
（D）a＞0，且b2－4ac＞0
5.有三个关于x的方程：
，已知其中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为（
（A）－4≤a≤4
（B）－2＜a＜4
（C）a＜0
（D）a≤－2，或a≥4
6.不等式4≤x2-3x＜18的整数解集是
。
7.若方程组
有两组解，则实数m的取值集合是
8.集合A=
，则A∩B=
9.若
的解集是{x|2＜x＜4}，则p，q的值分别是p=
，q=
10.对任何实数x，函数
的值恒为负数，则p的取值范围是
【答案】
1.D
2.B
3.C4.C
5.D
6.{－2，－1，4，5}
7.（
）
8.（2，4）
9.
10.－4＜p≤0
B组
1．解不等式：
（1）（x+1）（x+2）＞0;
（2）2x（x-
）＜0;
（3）14-4x2≥x;
（4）0＜x2-x-2＜4.
2.解不等式组
x（x2+1）≥（x+1）（x2-x+1）,
1-2x＞3（x-9）.
3.解不等式：
（1）
＜0
（2）
＞1
4．解不等式（x+a）（x+b）＞0 （a＜b）
5．X为何值时，抛物线y=-x2+5x-5上的点位于直线y=1的上方。
6．已知U=R,且A={x|x2-9<
0},B={x|x2-3x+2≥0}求：
（1）A∩B；
（2）A∪B
（3）Cu（A∩B）
（4）（CuA）∪（CuB）
7．不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<
0的解集为R，求a的取值范围。
8．解不等式x>
9.已知全集U=R，A={x|x2-x-6>
0},B={x|x2+2x-8>
0},C={x|x2-4ax+3a<
0},若A∩BC，求实数a的取值范围。
10．已知A={x||x-a≤1},B={x|
≥0},且A∩B=,求a的取值范围。
答案
1．
（1）{x|x<
-2或x>
-1};
（2）{x|0<
X<
<
SPAN>
};
（3）{x|-2≤x≤
（4）{x|-2<
-1SPAN或2<
x<
3}<
>
2.{x|1x<
}
3.
（1）{x|-
X〈<
〉;
（2）{x|
x<
4.{x|x<
-b或x>
-a}.
5.{x|2<
6.易得A＝（－3，3），B＝（－∞，1）∪［2，＋∞］，则
（1）A∩B＝｛x|-3<
3｝
（2）A∪B＝R
（3）Cu（AB）={x|x≤–3或1<
2或X≥3}.
（4）（CuA）∪（CuB）={x|x≤–3或1<
2或X≥3}<
7．当a2-1=0时a=1,有x∈R.
当a2-1≠0时，△＝（
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